Encontre o valor do parámetro k de modo que o seguinte limite exista. Qual é o valor do limite?
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}+k x-20}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o valor do parâmetro \,k, de modo que o limite
\lim_{x\rightarrow 5}\frac{x^{2}+k x-20}{x-5}
exista (seja finito).
  • Calcular qual é o valor desse limite quando esse k for escolhido.
Informações dadas:
  • A função cuja razão temos é \dfrac{x^{2}+k x-20}{x-5}.
  • O ponto onde se aproxima é x\to 5.
  • O denominador x-5 tende a zero quando x\to5, logo temos potencial indeterminação se o numerador não também tender a zero.

Passo 2

Entendendo o que é necessário para o limite existir: quando o denominador tende a zero (aqui \,x-5\to0 ao aproximar x de 5), para que o quociente tenha um limite finito o numerador também precisa tender a zero na mesma ordem — caso contrário o quociente tende para infinito ou não existe. Em termos práticos e simples: para que haja um limite finito da forma
\frac{\text{numerador}}{x-5}\quad\text{quando }x\to5,
é necessário que o numerador se anule em x=5, isto é, que o numerador seja zero ao substituir x=5. Isso cria uma singularidade removível que pode ser cancelada por fator comum (x-5).

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior: imponho que o numerador seja zero em x=5. Ou seja,
\left. x^{2}+k x-20\right|_{x=5}=0.
Calculo esse valor:
5^{2}+k\cdot5-20=0.
Desenvolvendo,
25+5k-20=0.
Logo
5+5k=0.

Passo 4

Resolvo a equação do passo anterior para k:
5+5k=0 \quad\Longrightarrow\quad 5k=-5 \quad\Longrightarrow\quad k=-1.

Passo 5

Agora trabalho a expressão com k=-1. Substituindo no numerador:
x^{2}+k x-20 = x^{2}-x-20.
Vou fatorar x^{2}-x-20. Procuro dois números cujo produto seja -20 e cuja soma seja -1. Esses números são -5 e 4. Assim:
x^{2}-x-20=(x-5)(x+4).

Passo 6

Com a fatoração, a razão original para k=-1 fica, para x\neq5,
\frac{x^{2}-x-20}{x-5}=\frac{(x-5)(x+4)}{x-5}=x+4.
Como cancelamento é válido para x\neq5, o limite quando x\to5 é o mesmo que o limite de x+4 quando x\to5, ou seja, basta substituir x=5 na expressão simplificada.

Passo 7

Substituindo x=5 em x+4 obtemos
5+4=9.

Resposta

k=-1
\displaystyle 9

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