Encontre o valor do parámetro k de modo que o seguinte limite exista. Qual é o valor do limite?
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}+k x-20}{x-5}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar o valor do parâmetro \,k, de modo que o limite
\lim_{x\rightarrow 5}\frac{x^{2}+k x-20}{x-5}
exista (seja finito).
Calcular qual é o valor desse limite quando esse k for escolhido.
Informações dadas:
A função cuja razão temos é \dfrac{x^{2}+k x-20}{x-5}.
O ponto onde se aproxima é x\to 5.
O denominador x-5 tende a zero quando x\to5, logo temos potencial indeterminação se o numerador não também tender a zero.
Passo 2
Entendendo o que é necessário para o limite existir: quando o denominador tende a zero (aqui \,x-5\to0 ao aproximar x de 5), para que o quociente tenha um limite finito o numerador também precisa tender a zero na mesma ordem — caso contrário o quociente tende para infinito ou não existe. Em termos práticos e simples: para que haja um limite finito da forma
é necessário que o numerador se anule em x=5, isto é, que o numerador seja zero ao substituir x=5. Isso cria uma singularidade removível que pode ser cancelada por fator comum (x-5).
Passo 3
Aplicando a ideia do passo anterior: imponho que o numerador seja zero em x=5. Ou seja,
Como cancelamento é válido para x\neq5, o limite quando x\to5 é o mesmo que o limite de x+4 quando x\to5, ou seja, basta substituir x=5 na expressão simplificada.