Exercício 1. Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo:
a_{n}=\frac{1}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para listar os cinco primeiros termos da sequência a_{n}=\frac{1}{n!}. Informações relevantes:
  • A fórmula geral é a_{n}=\dfrac{1}{n!}.
  • Vou adotar a convenção padrão de sequência com índice começando em n=1, ou seja os cinco primeiros termos serão a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}.
  • Nenhuma outra informação adicional foi fornecida, portanto usarei essa convenção.

Passo 2

Entender o que é fatorial: para inteiro positivo n,
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Exemplos: 1!=1, 2!=2\cdot1=2, 3!=3\cdot2\cdot1=6. Além disso, por convenção matemática define-se
0! = 1,
porque o produto vazio (quando não há fatores) vale 1. Na sequência dada usamos n! no denominador, então a_n é simplesmente o inverso de n!.

Passo 3

Calcular a_{1}. Primeiro compute 1!:
1! = 1.
Portanto
a_{1}=\frac{1}{1!}=\frac{1}{1}=1.

Passo 4

Calcular a_{2}. Primeiro compute 2!:
2! = 2\cdot1 = 2.
Portanto
a_{2}=\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular a_{3}. Primeiro compute 3!:
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
Portanto
a_{3}=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Calcular a_{4}. Primeiro compute 4!:
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
Portanto
a_{4}=\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}.

Passo 7

Calcular a_{5}. Primeiro compute 5!:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Portanto
a_{5}=\frac{1}{5!}=\frac{1}{120}.

Passo 8

Observação prática (dica para prova): os termos seguem a regra clara de decrescer rapidamente porque n! cresce muito rápido; assim a_n é uma sequência positiva e decrescente que tende a 0 quando n aumenta. Para calcular na prova sem calculadora, basta multiplicar inteiros sucessivos para obter n! e inverter.

Resposta

a_{1}=1
a_{2}=\dfrac{1}{2}
a_{3}=\dfrac{1}{6}
a_{4}=\dfrac{1}{24}
a_{5}=\dfrac{1}{120}

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