Calcule.
Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é um polinômio em
de grau
com termo de maior grau
. O objetivo é determinar o comportamento dessa expressão quando
cresce sem limite positivo.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): em um polinômio, quando
o termo de maior grau domina o valor do polinômio — os termos de grau menor tornam-se desprezíveis diante do crescimento de
. Aqui o termo dominante é
. Vou fazer essa ideia rigorosa reescrevendo a expressão de forma a separar o fator
.
Passo 3
Reescrevendo o polinômio em ordem decrescente de grau:
Agora fatoro
:
Aqui cada potência negativa é definida por
.
Passo 4
Analisando o comportamento das parcelas quando
: para todo inteiro
tem-se
pois
tende a zero quando
cresce. Portanto
Passo 5
Agora combinamos os limites:
quando
(positivo e divergente) e o fator entre parênteses tende a
. Para
suficientemente grande o fator entre parênteses é negativo e próximo de
, logo o produto
é um número negativo cujo valor absoluto cresce sem limite. Em outras palavras, o produto tende para
.
Conclusão: o limite pedido é .
Conclusão: o limite pedido é