Calcule.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(5-4 x+x^{2}-x^{5}\right)

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(5-4x+x^{2}-x^{5}\right).
Informações dadas: a expressão é um polinômio em x de grau 5 com termo de maior grau -x^{5}. O objetivo é determinar o comportamento dessa expressão quando x cresce sem limite positivo.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): em um polinômio, quando x\to\infty o termo de maior grau domina o valor do polinômio — os termos de grau menor tornam-se desprezíveis diante do crescimento de x^{\text{grau máximo}}á. Aqui o termo dominante é -x^{5}. Vou fazer essa ideia rigorosa reescrevendo a expressão de forma a separar o fator x^{5}.

Passo 3

Reescrevendo o polinômio em ordem decrescente de grau:
5-4x+x^{2}-x^{5}=-x^{5}+x^{2}-4x+5.
Agora fatoro x^{5}:
-x^{5}+x^{2}-4x+5 = x^{5}\Big(-1 + x^{-3} - 4x^{-4} + 5x^{-5}\Big).
Aqui cada potência negativa é definida por x^{-k}=\dfrac{1}{x^{k}}.

Passo 4

Analisando o comportamento das parcelas quando x\to\infty: para todo inteiro k>0 tem-se
\lim_{x\to\infty} x^{-k}=0,
pois \dfrac{1}{x^{k}} tende a zero quando x cresce. Portanto
\lim_{x\to\infty}\Big(-1 + x^{-3} - 4x^{-4} + 5x^{-5}\Big) = -1 + 0 - 0 + 0 = -1.

Passo 5

Agora combinamos os limites: x^{5}\to\infty quando x\to\infty (positivo e divergente) e o fator entre parênteses tende a -1. Para x suficientemente grande o fator entre parênteses é negativo e próximo de -1, logo o produto
x^{5}\Big(-1 + x^{-3} - 4x^{-4} + 5x^{-5}\Big)
é um número negativo cujo valor absoluto cresce sem limite. Em outras palavras, o produto tende para -\infty.
Conclusão: o limite pedido é -\infty.

Resposta

-\infty

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