Encontre o valor das sentenças tanto na forma polar como de número complexo.
(d) 12 \angle 45^{\circ}+8 \angle 15^{\circ}+5

Passo 1

O enunciado pede que a expressão seja calculada e apresentada em duas formas:
  1. forma polar;
  2. como número complexo (forma retangular x+iy).\n
    As informações dadas são:
12\angle 45^\circ,\qquad 8\angle 15^\circ,\qquad 5.
Ou seja, somar os dois números complexos dados em forma polar com o número real 5 e apresentar o resultado nas duas formas pedidas.

Passo 2

Primeiro vamos transformar cada termo em forma retangular. A fórmula de conversão de polar para retangular é
r\angle\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde r é o módulo (distância ao centro) e \theta é o argumento (ângulo, em graus aqui). Vou explicar o que significa cada símbolo: r é um número real não-negativo que multiplica o par trigonométrico; \theta é o ângulo medido a partir do eixo real positivo; i é a unidade imaginária com i^2=-1.
Aplicando isso ao primeiro termo 12\angle 45^\circ:
12\angle 45^\circ = 12(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ).
Sabemos os valores exatos
\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2},
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12\angle 45^\circ = 12\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + i\,12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} + i\,6\sqrt{2}.

Passo 3

Agora convertemos 8\angle 15^\circ. Para \cos 15^\circ e \sin 15^\circ usamos fórmulas de ângulo composto (ou metade de 30^\circ etc.). Uma forma rápida é
\cos 15^\circ = \cos(45^\circ-30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ.
Calculando com valores conhecidos:
\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
De modo semelhante,
\sin 15^\circ = \sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.
Agora multiplicamos por 8:
8\angle 15^\circ = 8\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right) = 2(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + i\,2(\sqrt{6}-\sqrt{2}).
Distribuindo:
8\angle 15^\circ = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + i\bigl(2\sqrt{6}-2\sqrt{2}\bigr).

Passo 4

Agora somamos os três termos (os dois acima em forma retangular mais o 5 real). Some parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:
Parte real:
\Re = 6\sqrt{2} + (2\sqrt{6}+2\sqrt{2}) + 5 = 2\sqrt{6} + (6\sqrt{2}+2\sqrt{2}) + 5 = 2\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 5.
Parte imaginária:
\Im = 6\sqrt{2} + (2\sqrt{6}-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{6} + (6\sqrt{2}-2\sqrt{2}) = 2\sqrt{6} + 4\sqrt{2}.
Portanto a forma retangular exata (número complexo) é
\boxed{\,2\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 5 \;+\; i\bigl(2\sqrt{6} + 4\sqrt{2}\bigr)\,}.
Para uma ideia númerica (útil na hora de converter para polar): calculemos aproximações usando \sqrt{2}\approx 1,41421356 e \sqrt{6}\approx 2,44948974:
\Re \approx 21,212688,\qquad \Im \approx 10,555834.
(Dei a aproximação com 6 casas decimais para ficar seguro.)

Passo 5

Agora passamos para a forma polar. O módulo r e o argumento \theta são dados por
r=\sqrt{\Re^2+\Im^2},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(\Im,\Re)
onde \operatorname{atan2} é a função arco-tangente que considera o quadrante correto (aqui \Re>0 e \Im>0, então \theta fica no primeiro quadrante).
Usando as aproximações numéricas:
r \approx \sqrt{21,212688^{2}+10,555834^{2}} \approx \sqrt{561,403757} \approx 23,69396.
E o argumento em graus:
\theta \approx \arctan\!\left(\frac{10,555834}{21,212688}\right) \approx \arctan(0,497480) \approx 26,449^\circ.
(Usei \arctan e converti para graus; como ambas partes são positivas, não é necessário ajuste de quadrante.)
Assim a forma polar aproximada é
\boxed{\,23,69396\angle 26,449^\circ\,}.

Resposta

Forma polar: \;23,69396\angle 26,449^\circ
Forma complexa: \;2\sqrt{6} + 8\sqrt{2} + 5 \;+\; i\bigl(2\sqrt{6} + 4\sqrt{2}\bigr)

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