Encontre o valor das sentenças tanto na forma polar como de número complexo.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede que a expressão seja calculada e apresentada em duas formas:
- forma polar;
- como número complexo (forma retangular
).\n
As informações dadas são:
Ou seja, somar os dois números complexos dados em forma polar com o número real
e apresentar o resultado nas duas formas pedidas.
Passo 2
Primeiro vamos transformar cada termo em forma retangular. A fórmula de conversão de polar para retangular é
onde
é o módulo (distância ao centro) e
é o argumento (ângulo, em graus aqui). Vou explicar o que significa cada símbolo:
é um número real não-negativo que multiplica o par trigonométrico;
é o ângulo medido a partir do eixo real positivo;
é a unidade imaginária com
.
Aplicando isso ao primeiro termo
:
Sabemos os valores exatos
logo
Passo 3
Agora convertemos
. Para
e
usamos fórmulas de ângulo composto (ou metade de
etc.). Uma forma rápida é
Calculando com valores conhecidos:
De modo semelhante,
Agora multiplicamos por
:
Distribuindo:
Passo 4
Agora somamos os três termos (os dois acima em forma retangular mais o
real). Some parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:
Parte real:
Parte real:
Parte imaginária:
Portanto a forma retangular exata (número complexo) é
Para uma ideia númerica (útil na hora de converter para polar): calculemos aproximações usando
e
:
(Dei a aproximação com 6 casas decimais para ficar seguro.)
Passo 5
Agora passamos para a forma polar. O módulo
e o argumento
são dados por
onde
é a função arco-tangente que considera o quadrante correto (aqui
e
, então
fica no primeiro quadrante).
Usando as aproximações numéricas:
E o argumento em graus:
(Usei
e converti para graus; como ambas partes são positivas, não é necessário ajuste de quadrante.)
Assim a forma polar aproximada é
Resposta
Forma polar:
Forma complexa:
Forma complexa: