Encontre o valor das sentenças tanto na forma polar como de número complexo.
(e) \frac{(3-j 4)^{2}}{1+j}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor da expressão tanto na forma polar quanto como número complexo (forma retangular). Dados fornecidos:
\frac{(3-j4)^{2}}{1+j}.
Ou seja, queremos (1) a forma retangular a+jb e (2) a forma polar r(\cos\theta + j\sin\theta) ou r e^{j\theta}.

Passo 2

Vou usar primeiro a forma algébrica (retangular) para calcular a divisão de maneira direta — é método básico e seguro em prova — e depois converter o resultado para a forma polar. Como checagem (e para te ensinar também), vou mostrar rapidamente como seria o método puramente polar (que é muitas vezes mais curto): em polar, para dividir complexos dividimos os módulos e subtraímos os argumentos; para elevar multiplicamos argumentos e elevamos o módulo. Mas primeiro a conta direta.

Passo 3

Calcular o numerador (3-j4)^2 usando a fórmula do quadrado:
(3-j4)^2 = 3^2 + 2\cdot 3\cdot(-j4) + (-j4)^2.
Agora faz cada termo:
3^2 = 9,
2\cdot 3\cdot(-j4) = -24j,
(-j4)^2 = j^2\cdot 16 = -1\cdot 16 = -16.
Somando:
(3-j4)^2 = 9 -24j -16 = -7 -24j.

Passo 4

Agora dividimos por 1+j. A técnica elementar é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador 1-j, para obter denominador real:
\frac{-7-24j}{1+j} = \frac{(-7-24j)(1-j)}{(1+j)(1-j)}.
Calcule o denominador:
(1+j)(1-j)=1-j^2=1-(-1)=2.
Calcule o numerador: multiplicando termo a termo
(-7-24j)(1-j) = -7(1-j) -24j(1-j).
Faça cada parcela:
-7(1-j) = -7 +7j,
-24j(1-j) = -24j +24j^2 = -24j -24.
Somando as duas parcelas:
-7 +7j -24j -24 = (-7-24) + (7j-24j) = -31 -17j.
Dividindo pelo denominador 2:
\frac{-31 -17j}{2} = -\frac{31}{2} - \frac{17}{2}j.
Pronto — essa é a forma retangular (número complexo).

Passo 5

Agora vamos aprender como passar para a forma polar. Lembrete das fórmulas:
  • O módulo (magnitude) de a+jb é |a+jb|=\sqrt{a^2+b^2}.
  • O argumento (ângulo) \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{b}{a}, mas é preciso ajustar o quadrante conforme os sinais de a e b.
No nosso caso temos a=-\dfrac{31}{2} e b=-\dfrac{17}{2}.
Calcule o módulo:
r=\sqrt{\left(-\frac{31}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}} =\frac{1}{2}\sqrt{31^{2}+17^{2}}.
Calcule os quadrados:
31^{2}=961,\qquad 17^{2}=289,\qquad 961+289=1250.
Logo
r=\frac{1}{2}\sqrt{1250}.
Simplificando \sqrt{1250}=\sqrt{625\cdot 2}=25\sqrt{2}. Portanto
r=\frac{1}{2}\cdot 25\sqrt{2}=\frac{25}{2}\sqrt{2}.
Se quiseres um valor aproximado:
r\approx \frac{25}{2}\cdot 1{,}41421356\approx 17{,}6777.

Passo 6

Agora o argumento \theta. Primeiro calcule a tangente absoluta:
\left|\frac{b}{a}\right|=\left|\frac{-\tfrac{17}{2}}{-\tfrac{31}{2}}\right|=\frac{17}{31}.
A função arctan dá um ângulo de referência
\alpha=\arctan\!\left(\frac{17}{31}\right).
Numericamente \alpha\approx 0{,}502\\ \text{rad} (que é cerca de 28{,}74^\circ).
Agora ajuste o quadrante: como a<0 e b<0 (ambos negativos), o ponto está no terceiro quadrante. Em notação de argumento podemos escrever
\theta = -\pi + \alpha
ou equivalentemente
\theta = \pi + \alpha.
Como padrão da forma principal em (-\pi,\pi] usamos
\theta = -\pi + \arctan\!\left(\frac{17}{31}\right)\approx -2{,}640\\ \text{rad}
(o que corresponde a cerca de -151{,}26^\circ). Se preferires um ângulo positivo entre 0 e 2\pi, usa \theta\approx 3{,}644\\ \text{rad} (≈ 209{,}74^\circ).

Passo 7

Como checagem rápida usando o método polar direto: (3-j4) tem módulo 5 (pois \sqrt{3^2+4^2}=5) e argumento \arctan(-4/3)\approx -0{,}9273\\ \text{rad} (≈ -53{,}13^\circ). Ao elevar ao quadrado: módulo 5^2=25 e argumento 2\cdot(-0{,}9273)=-1{,}8546\\ \text{rad} (≈ -106{,}26^\circ). O denominador 1+j tem módulo \sqrt{2} e argumento \pi/4=0{,}7854\\ \text{rad} (45°). Dividindo módulos 25/\sqrt{2}=(25/2)\sqrt{2} e subtraindo ângulos -1{,}8546-0{,}7854=-2{,}6400\\ \text{rad}. Isso coincide com o que encontramos acima — bom sinal!

Passo 8

Escrevendo então as formas polares padrão:
\text{forma trigonométrica: } r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big)\quad\text{com}\quad r=\frac{25}{2}\sqrt{2},\\ \theta=-\pi+\arctan\!\left(\frac{17}{31}\right)\approx -2{,}640.é
\text{forma exponencial: } r e^{j\theta}\quad\text{com os mesmos }r,\theta.

Resposta

-\dfrac{31}{2}-\dfrac{17}{2}j\n \dfrac{25}{2}\sqrt{2}\,\big(\cos\big(-\pi+\arctan\!\big(\tfrac{17}{31}\big)\big)+j\sin\big(-\pi+\arctan\!\big(\tfrac{17}{31}\big)\big)\big)

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