Encontre o valor das sentenças tanto na forma polar como de número complexo.
(e) \frac{(3-j 4)^{2}}{1+j}
Passo 1
O enunciado pede: calcular o valor da expressão tanto na forma polar quanto como número complexo (forma retangular). Dados fornecidos:
\frac{(3-j4)^{2}}{1+j}.
Ou seja, queremos (1) a forma retangular a+jb e (2) a forma polar r(\cos\theta + j\sin\theta) ou r e^{j\theta}.
Passo 2
Vou usar primeiro a forma algébrica (retangular) para calcular a divisão de maneira direta — é método básico e seguro em prova — e depois converter o resultado para a forma polar. Como checagem (e para te ensinar também), vou mostrar rapidamente como seria o método puramente polar (que é muitas vezes mais curto): em polar, para dividir complexos dividimos os módulos e subtraímos os argumentos; para elevar multiplicamos argumentos e elevamos o módulo. Mas primeiro a conta direta.
Passo 3
Calcular o numerador (3-j4)^2 usando a fórmula do quadrado:
(3-j4)^2 = 3^2 + 2\cdot 3\cdot(-j4) + (-j4)^2.
Agora faz cada termo:
3^2 = 9,
2\cdot 3\cdot(-j4) = -24j,
(-j4)^2 = j^2\cdot 16 = -1\cdot 16 = -16.
Somando:
(3-j4)^2 = 9 -24j -16 = -7 -24j.
Passo 4
Agora dividimos por 1+j. A técnica elementar é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador 1-j, para obter denominador real:
(o que corresponde a cerca de -151{,}26^\circ). Se preferires um ângulo positivo entre 0 e 2\pi, usa \theta\approx 3{,}644\\ \text{rad} (≈ 209{,}74^\circ).
Passo 7
Como checagem rápida usando o método polar direto: (3-j4) tem módulo 5 (pois \sqrt{3^2+4^2}=5) e argumento \arctan(-4/3)\approx -0{,}9273\\ \text{rad} (≈ -53{,}13^\circ). Ao elevar ao quadrado: módulo 5^2=25 e argumento 2\cdot(-0{,}9273)=-1{,}8546\\ \text{rad} (≈ -106{,}26^\circ). O denominador 1+j tem módulo \sqrt{2} e argumento \pi/4=0{,}7854\\ \text{rad} (45°). Dividindo módulos 25/\sqrt{2}=(25/2)\sqrt{2} e subtraindo ângulos -1{,}8546-0{,}7854=-2{,}6400\\ \text{rad}. Isso coincide com o que encontramos acima — bom sinal!