Encontre o valor das sentenças tanto na forma polar como de número complexo.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a fração de números complexos
e pede que eu encontre:
- o valor na forma de número complexo (forma retangular) — isto é,
; - o valor na forma polar — isto é,
(ou ).
Informações relevantes dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A unidade imaginária é
.
Passo 2
Para dividir dois complexos sem calculadora, uso o truque do conjugado: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para tornar o denominador real. O conjugado de
é
.
Fórmula geral (explicando cada símbolo):
onde
são números reais. O denominador vira
porque
.
Aqui
,
,
,
(ou pense no denominador como
). Vou aplicar a multiplicação explícita.
Passo 3
Multiplico numerador e denominador pelo conjugado
:
Calculo o numerador produto termo a termo:
-
, -
, -
, -
(pois ).
Somando reais e imaginários:
O denominador fica (usando
):
Passo 4
Agora divido cada parte real e imaginária por
:
Portanto a forma retangular é
.
Passo 5
Agora passo para a forma polar. Primeiro calculo o módulo
:
Expliquei: o módulo de
é
.
Passo 6
Agora o argumento
. A tangente do argumento é
.
Cuidado com o quadrante: temos parte real negativa e parte imaginária positiva, logo o ponto
está no segundo quadrante.
dá
, mas no segundo quadrante o ângulo correspondente é
Em radianos isso é
.
Passo 7
Escrevo a forma polar usando
e
. Posso usar a notação com ângulo ou a forma exponencial: