Encontre o valor das sentenças tanto na forma polar como de número complexo.
(a) \frac{3+j 5}{2-j 8}

Passo 1

O enunciado dá a fração de números complexos \dfrac{3+j5}{2-j8} e pede que eu encontre:
  • o valor na forma de número complexo (forma retangular) — isto é, a + j b;
  • o valor na forma polar — isto é, r\angle\theta (ou r e^{j\theta}).
Informações relevantes dadas:
  • Numerador: 3 + j5.
  • Denominador: 2 - j8.
  • A unidade imaginária é j.

Passo 2

Para dividir dois complexos sem calculadora, uso o truque do conjugado: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para tornar o denominador real. O conjugado de 2 - j8 é 2 + j8.
Fórmula geral (explicando cada símbolo):
\frac{a + jb}{c + jd} = \frac{(a + jb)(c - jd)}{c^2 + d^2},
onde a,b,c,d são números reais. O denominador vira c^2+d^2 porque (c+jd)(c-jd)=c^2-(jd)^2=c^2- j^2 d^2 = c^2-(-1)d^2 = c^2+d^2.
Aqui a=3, b=5, c=2, d=-8 (ou pense no denominador como 2+ j(-8)). Vou aplicar a multiplicação explícita.

Passo 3

Multiplico numerador e denominador pelo conjugado 2 + j8:
\frac{3+j5}{2-j8} = \frac{(3+j5)(2+j8)}{(2-j8)(2+j8)}.
Calculo o numerador produto termo a termo:
  • 3\cdot 2 = 6,
  • 3\cdot j8 = j24,
  • j5\cdot 2 = j10,
  • j5\cdot j8 = j^2 \cdot 40 = -40 (pois j^2=-1).
Somando reais e imaginários:
(3+j5)(2+j8) = (6 - 40) + j(24 + 10) = -34 + j34.
O denominador fica (usando c^2+d^2):
(2-j8)(2+j8) = 2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68.

Passo 4

Agora divido cada parte real e imaginária por 68:
\frac{-34 + j34}{68} = -\frac{34}{68} + j\frac{34}{68} = -\frac{1}{2} + j\frac{1}{2}.
Portanto a forma retangular é -\tfrac{1}{2} + j\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora passo para a forma polar. Primeiro calculo o módulo r:
r = \sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Expliquei: o módulo de a+jb é \sqrt{a^2+b^2}.

Passo 6

Agora o argumento \theta. A tangente do argumento é \tan\theta = \dfrac{\text{Im}}{\text{Re}} = \dfrac{1/2}{-1/2} = -1.
Cuidado com o quadrante: temos parte real negativa e parte imaginária positiva, logo o ponto (-1/2,\,1/2) está no segundo quadrante. \arctan(-1) -45^\circ, mas no segundo quadrante o ângulo correspondente é
\theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.
Em radianos isso é \theta = \dfrac{3\pi}{4}.

Passo 7

Escrevo a forma polar usando r e \theta. Posso usar a notação com ângulo ou a forma exponencial:
\text{forma polar: } \frac{\sqrt{2}}{2}\angle 135^\circ \quad\text{(ou)}\quad \frac{\sqrt{2}}{2} e^{j\,3\pi/4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\angle 135^\circ (ou \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} e^{j\,3\pi/4})
-\dfrac{1}{2} + j\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados