Encontre o valor das sentenças tanto na forma polar como de número complexo.
(c) \frac{2-j-5 \angle 30^{\circ}}{1-j}

Passo 1

Entendendo o que o enunciado pede e quais dados temos.\n
Temos que calcular a expressão
\frac{2 - j - 5\angle 30^\circ}{1 - j}.
As perguntas implícitas são: calcular essa fração e apresentar o resultado (1) na forma de número complexo (forma retangular) e (2) na forma polar. Informações relevantes: j é a unidade imaginária ( j^2=-1); há um termo em forma polar 5\angle 30^\circ.

Passo 2

Converter o termo polar para a forma retangular usando a fórmula de conversão.\n
Regra: um número em forma polar \,r\angle\theta\, corresponde a
r\angle\theta = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big).
Aplicando com r=5 e \theta=30^\circ, e lembrando que \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, obtemos
5\angle 30^\circ = 5\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + j\frac{1}{2}\right)=\frac{5\sqrt{3}}{2} + j\frac{5}{2}.

Passo 3

Calcular o numerador na forma retangular, substituindo o termo convertido.\n
O numerador é 2 - j - 5\angle 30^\circ. Substituindo o que achamos:
2 - j - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} + j\frac{5}{2}\right).
Agrupando parte real e imaginária:
\text{real: } 2 - \frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{4-5\sqrt{3}}{2},
\text{imaginária: } -1 - \frac{5}{2}=-\frac{2}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}.á
Portanto o numerador em forma retangular é
\frac{4-5\sqrt{3}}{2} - j\frac{7}{2}.

Passo 4

Explicar como dividir por um número complexo e aplicar o método do conjugado.\n
Para dividir por um número complexo c+jd multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado c-jd para tornar o denominador real:
\frac{a+jb}{c+jd}=\frac{(a+jb)(c-jd)}{(c+jd)(c-jd)}=\frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2+d^2}.
No nosso caso o denominador é 1-j. O conjugado é 1+j e
(1-j)(1+j)=1^2- j^2=1-(-1)=2.
Então podemos multiplicar numerador e denominador por 1+j.

Passo 5

Fazer a multiplicação e simplificar para obter a forma retangular final.\n
Seja a=\dfrac{4-5\sqrt{3}}{2} e b=-\dfrac{7}{2}, de modo que o numerador é a+jb. Multiplicando pelo conjugado:
(a+jb)(1+j)=a(1+j)+jb(1+j)=a+aj+jb+j^2b=(a-b)+j(a+b),
pois j^2=-1. Então, dividindo por (1-j)(1+j)=2, obtemos
\frac{a+jb}{1-j}=\frac{(a-b)+j(a+b)}{2}.
Agora substituímos a e b:
a-b=\frac{4-5\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{4-5\sqrt{3}+7}{2}=\frac{11-5\sqrt{3}}{2},
a+b=\frac{4-5\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)=\frac{4-5\sqrt{3}-7}{2}=\frac{-3-5\sqrt{3}}{2}.
Dividindo por 2 temos as componentes finais:
\text{parte real}=\frac{11-5\sqrt{3}}{4}, \qquad \text{parte imaginária}=\frac{-3-5\sqrt{3}}{4}.á
Portanto, na forma retangular exata:
\frac{2-j-5\angle 30^\circ}{1-j}=\frac{11-5\sqrt{3}}{4}+j\frac{-3-5\sqrt{3}}{4} =\frac{11-5\sqrt{3}}{4}-j\frac{3+5\sqrt{3}}{4}.
Como verificação numérica rápida (apenas para conferir sinais): \dfrac{11-5\sqrt{3}}{4}\approx 0,58494 e -\dfrac{3+5\sqrt{3}}{4}\approx -2,91506.

Passo 6

Converter a forma retangular para a forma polar (módulo e argumento), com explicação das fórmulas.\n
Seja x a parte real e y a parte imaginária do número complexo. As fórmulas são
r=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x)
onde \operatorname{atan2} dá o ângulo correto considerando os quadrantes. Aqui
x=\frac{11-5\sqrt{3}}{4},\qquad y=\frac{-3-5\sqrt{3}}{4}.
Cálculo numérico (aproximação):
x\approx 0,58494,\qquad y\approx -2,91506.
Então
r=\sqrt{0,58494^{2}+(-2,91506)^{2}}\approx 2,9733,
e o argumento
\theta=\operatorname{atan2}(-2,91506,\,0,58494)\approx -78,63^\circ.
É comum também apresentar o ângulo positivo em [0^\circ,360^\circ), ficando \theta\approx 281,37^\circ.

Resposta

\displaystyle \frac{11-5\sqrt{3}}{4}-j\frac{3+5\sqrt{3}}{4}\n
\displaystyle 2,9733\angle -78,63^\circ

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