Encontre o valor das sentenças tanto na forma polar como de número complexo.
(c)
(c)
Passo 1
Entendendo o que o enunciado pede e quais dados temos.\n
Temos que calcular a expressão
Temos que calcular a expressão
As perguntas implícitas são: calcular essa fração e apresentar o resultado (1) na forma de número complexo (forma retangular) e (2) na forma polar. Informações relevantes:
é a unidade imaginária (
); há um termo em forma polar
.
Passo 2
Converter o termo polar para a forma retangular usando a fórmula de conversão.\n
Regra: um número em forma polar corresponde a
Regra: um número em forma polar
Aplicando com
e
, e lembrando que
e
, obtemos
Passo 3
Calcular o numerador na forma retangular, substituindo o termo convertido.\n
O numerador é . Substituindo o que achamos:
O numerador é
Agrupando parte real e imaginária:
Portanto o numerador em forma retangular é
Passo 4
Explicar como dividir por um número complexo e aplicar o método do conjugado.\n
Para dividir por um número complexo multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
para tornar o denominador real:
Para dividir por um número complexo
No nosso caso o denominador é
. O conjugado é
e
Então podemos multiplicar numerador e denominador por
.
Passo 5
Fazer a multiplicação e simplificar para obter a forma retangular final.\n
Seja e
, de modo que o numerador é
. Multiplicando pelo conjugado:
Seja
pois
. Então, dividindo por
, obtemos
Agora substituímos
e
:
Dividindo por
temos as componentes finais:
Portanto, na forma retangular exata:
Como verificação numérica rápida (apenas para conferir sinais):
e
.
Passo 6
Converter a forma retangular para a forma polar (módulo e argumento), com explicação das fórmulas.\n
Seja a parte real e
a parte imaginária do número complexo. As fórmulas são
Seja
onde
dá o ângulo correto considerando os quadrantes. Aqui
Cálculo numérico (aproximação):
Então
e o argumento
É comum também apresentar o ângulo positivo em
, ficando
.