Encontre o valor de y_{0} para o qual a solução do problema de valor inicial
y^{\prime}-y=1+3 \operatorname{sen} t, \quad y(0)=y_{0}
permaneça finita quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

Estamos diante de um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y' - y = 1 + 3\sin t,\quad y(0)=y_{0}.
O método que vamos usar é o fator integrante, pois ele nos permite transformar a equação na forma de derivada de um produto.

Passo 2

Primeiro, calculamos o fator integrante. A equação está em formato padrão y' + p(t)y = q(t) com p(t)=-1.
O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int -1\,dt} = e^{-t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
e^{-t}y' - e^{-t}y = e^{-t}(1 + 3\sin t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{-t}\bigr) = e^{-t} + 3\,e^{-t}\sin t.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
y\,e^{-t} = \int e^{-t}\,dt \;+\; 3\int e^{-t}\sin t\,dt \;+\; C.
Sabemos que
\int e^{-t}\,dt = -e^{-t}, \quad \int e^{-t}\sin t\,dt = -\tfrac12\,e^{-t}(\sin t + \cos t),
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y\,e^{-t} = -e^{-t} \;-\;\tfrac{3}{2}\,e^{-t}(\sin t + \cos t) \;+\;C.
Multiplicando por e^t, a solução geral fica
y(t) = -1 \;-\;\tfrac{3}{2}\bigl(\sin t + \cos t\bigr)\;+\;C\,e^t.

Passo 3

Impondo a condição inicial y(0)=y_{0}, temos
y(0) = -1 - \tfrac{3}{2}(\sin0 + \cos0) + C\,e^0 = -1 - \tfrac{3}{2}(0+1) + C = -\tfrac{5}{2} + C.
Como isso deve valer y_{0}, segue
y_{0} = -\tfrac{5}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad C = y_{0} + \tfrac{5}{2}.

Passo 4

Observe o termo C\,e^t em
y(t) = -1 - \tfrac{3}{2}(\sin t + \cos t) + (y_{0} + \tfrac{5}{2})\,e^t.
Quando t\to\infty, e^t cresce sem limite. Para que y(t) permaneça finita, precisamos anular o coeficiente desse termo, ou seja
y_{0} + \tfrac{5}{2} = 0.
Daí vem o valor desejado de y_{0}.

Resposta

y_{0} = -\tfrac{5}{2}.

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