Encontre o valor de
para o qual a solução do problema de valor inicial
permaneça finita quando
.
Passo 1
Estamos diante de um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem:
O método que vamos usar é o fator integrante, pois ele nos permite transformar a equação na forma de derivada de um produto.
Passo 2
Primeiro, calculamos o fator integrante. A equação está em formato padrão
com
.
O fator integrante é
O fator integrante é
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Sabemos que
logo
Multiplicando por
, a solução geral fica
Passo 3
Impondo a condição inicial
, temos
Como isso deve valer
, segue
Passo 4
Observe o termo
em
Quando
,
cresce sem limite. Para que
permaneça finita, precisamos anular o coeficiente desse termo, ou seja
Daí vem o valor desejado de
.