Encontre todas as funções f tal que f^{\prime} é contínua e
[f(x)]^{2}=100+\int_{0}^{x}\left([f(t)]^{2}+\left[f^{\prime}(t)\right]^{2}\right) d t \quad \text { para todo } x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede todas as funções f com derivada contínua que satisfazem
[f(x)]^{2}=100+\int_{0}^{x}\bigl([f(t)]^{2}+[f'(t)]^{2}\bigr)\,dt, \quad x\in\mathbb{R}.
Para resolver, vamos diferenciar essa relação integral.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}[f(x)]^{2}=2f(x)f'(x),
e pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\bigl([f(t)]^{2}+[f'(t)]^{2}\bigr)\,dt =[f(x)]^{2}+[f'(x)]^{2}.
Logo, a equação derivada é
2f(x)f'(x)= [f(x)]^{2}+[f'(x)]^{2}.

Passo 3

Reescrevendo essa identidade, fica
[f(x)]^{2}-2f(x)f'(x)+[f'(x)]^{2}=0
que é
\bigl(f'(x)-f(x)\bigr)^{2}=0.
Portanto, concluímos
f'(x)-f(x)=0.

Passo 4

A equação diferencial f'(x)=f(x) tem solução geral
f(x)=Ce^{x},
onde C é constante real.

Passo 5

Para determinar C, substituímos f(x)=Ce^{x} na relação original:
[C e^{x}]^{2} =100+\int_{0}^{x}\bigl([C e^{t}]^{2}+[C e^{t}]^{2}\bigr)\,dt =100+2C^{2}\int_{0}^{x}e^{2t}\,dt =100+C^{2}(e^{2x}-1).
Assim,
C^{2}e^{2x}=100+C^{2}e^{2x}-C^{2} \quad\Longrightarrow\quad C^{2}=100,
logo C=\pm10.

Resposta

As soluções são
f(x)=10e^{x} \quad\text{ou}\quad f(x)=-10e^{x}.

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