Suponha que P(x) seja contínua em algum intervalo I e que a \in I. O que pode ser dito sobre a solução do problema de valor inicial
y^{\prime}+P(x) y=0, \quad y(a)=0 ?

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO linear de primeira ordem
y' + P(x)\,y = 0,
com P(x) contínua em um intervalo I e condição inicial y(a)=0.
O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante e o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares.

Passo 2

A EDO pode ser resolvida por fator integrante. Definimos
\mu(x) = \exp\!\biggl(\int P(x)\,dx\biggr).
Multiplicando a equação por \mu(x)$, obtemos \[\mu(x)\,y' + \mu(x)\,P(x)\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl[\mu(x)\,y\bigr]' = 0.\]

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação a x, vem
\mu(x)\,y = C,
onde C é constante de integração. Assim a solução geral é
y(x) = C\,\exp\!\Bigl(-\int P(x)\,dx\Bigr).

Passo 4

Impondo a condição inicial y(a)=0, temos
0 = y(a) = C\,\exp\!\bigl(-\!\int P(x)\,dx\bigr)\Big|_{x=a} \;\Longrightarrow\; C = 0.
Logo a única solução que satisfaz y(a)=0 é
y(x)\equiv 0.

Resposta

A única solução do problema de valor inicial é y(x)=0 em todo o intervalo I.

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