Encontre os valores que a função f(x, y)=\frac{x^{4}+2 x^{2} y^{2}+y^{4}}{1-x^{2}-y^{2}} assume nos pontos do círculo x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}{1 - x^{2}-y^{2}}
e pede os valores que ela assume em todos os pontos do círculo
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
O que precisamos é apenas substituir a condição do círculo na expressão de f.

Passo 2

No círculo temos
x^{2}+y^{2}=r^{2},
logo o numerador fica
x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}=r^{4},
e o denominador fica
1 - x^{2}-y^{2}=1 - r^{2}.

Passo 3

Substituindo esses resultados em f, obtemos que, para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}=r^{2},
f(x,y)=\frac{r^{4}}{1 - r^{2}}.
Ou seja, sobre esse círculo a função é constante e vale exatamente esse quociente.

Resposta

f(x,y)=\frac{r^{4}}{1 - r^{2}}\quad\text{para todo }(x,y)\text{ com }x^{2}+y^{2}=r^{2}.

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