Encontre os valores que a função f(x, y)=\frac{x^{2}}{x^{4}+y^{2}} assume nos pontos da parábola y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores que
f(x,y)=\frac{x^{2}}{x^{4}+y^{2}}
assume quando (x,y) varia sobre a parábola y=x^{2}.
Vamos precisar (1) checar o domínio de f para ver se algum ponto da parábola é proibido e (2) substituir y=x^{2} em f para obter uma função univariada em x.

Passo 2

O denominador de f é x^{4}+y^{2}. Esse só se zera se
x^{4}+y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ e }y=0.
Assim o único ponto proibido é (0,0). Na parábola y=x^{2}, esse ponto corresponde a x=0. Logo em x=0 a função não está definida, mas para todo x\neq0 podemos prosseguir.

Passo 3

Substituindo y=x^{2} em f, obtemos para x\neq0:
f\bigl(x,x^{2}\bigr) =\frac{x^{2}}{x^{4}+(x^{2})^{2}} =\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{4}} =\frac{x^{2}}{2x^{4}} =\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Agora analisamos a expressão univariada
g(x)=\frac{1}{2x^{2}},\quad x\neq0.
Quando \lvert x\rvert\to\infty, g(x)\to0^{+}. Quando x\to0, g(x)\to+\infty. E g(x) é sempre positivo. Portanto a imagem de g é o intervalo aberto (0,\infty).

Resposta

A função assume todos os valores em (0,\infty) sobre a parábola y=x^{2}.

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