Sendo f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{2 x y}, encontre:
f\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}\right).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}
e pede para calcular
f\Bigl(\tfrac{1}{x},\tfrac{1}{y}\Bigr).
Vamos fazer isso por substituição direta e simplificação algébrica.

Passo 2

Substituindo (x,y)\mapsto\bigl(\tfrac{1}{x},\tfrac{1}{y}\bigr) em f, obtemos
f\Bigl(\tfrac{1}{x},\tfrac{1}{y}\Bigr) =\frac{\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr)^{2}}{2\cdot\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr)} =\frac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{2}{xy}}
e, para simplificar, multiplicamos numerador pelo inverso do denominador:
f\Bigl(\tfrac{1}{x},\tfrac{1}{y}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}}-\tfrac{1}{y^{2}}\Bigr)\cdot\frac{xy}{2}.

Passo 3

Agora distribuímos o produto:
\Bigl(\tfrac{1}{x^{2}}-\tfrac{1}{y^{2}}\Bigr)\cdot\frac{xy}{2} =\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{xy}{2}-\frac{1}{y^{2}}\cdot\frac{xy}{2} =\frac{y}{2x}-\frac{x}{2y} =\frac{y^{2}-x^{2}}{2xy}.
Observe que
\frac{y^{2}-x^{2}}{2xy} =-\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} =-\,f(x,y).

Resposta

f\Bigl(\tfrac{1}{x},\tfrac{1}{y}\Bigr)=-f(x,y).

Exercícios relacionados