Encontre os valores máximo e mínimo absolutos das funções na região dada:
no quadrado
,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
na região que é o quadrado
Informações dadas:
- A função é
. - A região é o quadrado fechado e limitado definido por
e .
O que eu preciso entregar: o valor do máximo absoluto e o valor do mínimo absoluto (e em quais pontos eles ocorrem) dentro desse quadrado.
Passo 2
Primeiro conceito importante (explicado de forma simples): uma função contínua definida num conjunto fechado e limitado (como este quadrado) sempre atinge um máximo e um mínimo absolutos dentro desse conjunto. Aqui,
é polinomial (produto de
e
), então é contínua. Logo existem pontos no quadrado onde
atinge os extremos absolutos. Para encontrá-los eu vou checar:
- pontos críticos no interior do quadrado (onde o gradiente é zero), e
- pontos na fronteira do quadrado (as quatro arestas).
A razão: extremos absolutos só podem ocorrer num ponto crítico interior ou na fronteira.
Passo 3
Achar os pontos críticos no interior: isso é feito calculando as derivadas parciais e igualando a zero. Explico as derivadas parciais: a derivada parcial de
em relação a
é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica constante; analogamente para a derivada parcial em
.
As derivadas parciais são
Essas fórmulas vêm direto de
(tratando
como constante) e
(tratando
como constante).
Agora igualo ambas a zero para encontrar pontos críticos:
Portanto o único ponto crítico é
. Avalio a função nesse ponto:
Passo 4
Agora analiso a fronteira do quadrado. A fronteira tem quatro arestas; em cada uma a função reduz a uma função de uma variável. Vou examinar cada aresta separadamente e achar seus extremos (num intervalo fechado, extremos ocorrem em pontos críticos dessa função unidimensional ou nas extremidades do intervalo).
Aresta 1:
com
.
Aqui para todo
— todos os pontos dessa aresta dão valor
.
Aqui
Aresta 2:
com
.
Aqui . Essa é uma função linear de
no intervalo
. Em uma função linear no intervalo fechado, o mínimo e máximo estão nas extremidades. Assim:
Aqui
- mínimo em
com valor , - máximo em
com valor .
Aresta 3:
com
.
Aqui para todo
— todos os pontos dessa aresta dão valor
.
Aqui
Aresta 4:
com
.
Aqui . Novamente é linear em
no intervalo
. Portanto:
Aqui
- mínimo em
com valor , - máximo em
com valor .
Resumo dos valores encontrados na fronteira: somente os valores
e
aparecem; o único ponto que dá valor
é
; muitos pontos (todas as arestas
e
e também os pontos
e
) dão valor
.
Passo 5
Agora comparo os candidatos a extremos:
- ponto crítico interior:
com ; - na fronteira: valores
e , com acontecendo em e acontecendo em toda a porção onde ou (incluindo , , , etc.).
Como
e
são não-negativos no quadrado,
sempre, então não há valores negativos. Assim o menor valor possível é
e o maior encontrado é
. Concluímos:
- máximo absoluto:
em ; - mínimo absoluto:
em todos os pontos em que ou dentro do quadrado (por exemplo , com , e com ).
Resposta
Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto: em todos os pontos com
ou
(por exemplo
,
com
, e
com
).
Mínimo absoluto: