Encontre os valores máximo e mínimo absolutos das funções na região dada:
f(x, y)=x y no quadrado 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função f(x,y)=xy na região que é o quadrado
0 \leq x \leq 1,\quad 0 \leq y \leq 1.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=xy.
  • A região é o quadrado fechado e limitado definido por 0\le x\le1 e 0\le y\le1.
    O que eu preciso entregar: o valor do máximo absoluto e o valor do mínimo absoluto (e em quais pontos eles ocorrem) dentro desse quadrado.

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicado de forma simples): uma função contínua definida num conjunto fechado e limitado (como este quadrado) sempre atinge um máximo e um mínimo absolutos dentro desse conjunto. Aqui, f(x,y)=xy é polinomial (produto de x e y), então é contínua. Logo existem pontos no quadrado onde f atinge os extremos absolutos. Para encontrá-los eu vou checar:
  1. pontos críticos no interior do quadrado (onde o gradiente é zero), e
  2. pontos na fronteira do quadrado (as quatro arestas).
    A razão: extremos absolutos só podem ocorrer num ponto crítico interior ou na fronteira.

Passo 3

Achar os pontos críticos no interior: isso é feito calculando as derivadas parciais e igualando a zero. Explico as derivadas parciais: a derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica constante; analogamente para a derivada parcial em y.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=y,
\frac{\partial f}{\partial y}=x.
Essas fórmulas vêm direto de \frac{d}{dx}(xy)=y (tratando y como constante) e \frac{d}{dy}(xy)=x (tratando x como constante).
Agora igualo ambas a zero para encontrar pontos críticos:
y=0,\qquad x=0.
Portanto o único ponto crítico é (x,y)=(0,0). Avalio a função nesse ponto:
f(0,0)=0.

Passo 4

Agora analiso a fronteira do quadrado. A fronteira tem quatro arestas; em cada uma a função reduz a uma função de uma variável. Vou examinar cada aresta separadamente e achar seus extremos (num intervalo fechado, extremos ocorrem em pontos críticos dessa função unidimensional ou nas extremidades do intervalo).
Aresta 1: x=0 com 0\le y\le1.
Aqui f(0,y)=0\cdot y=0 para todo y — todos os pontos dessa aresta dão valor 0.
Aresta 2: x=1 com 0\le y\le1.
Aqui f(1,y)=1\cdot y=y. Essa é uma função linear de y no intervalo [0,1]. Em uma função linear no intervalo fechado, o mínimo e máximo estão nas extremidades. Assim:
  • mínimo em y=0 com valor f(1,0)=0,
  • máximo em y=1 com valor f(1,1)=1.
Aresta 3: y=0 com 0\le x\le1.
Aqui f(x,0)=x\cdot 0=0 para todo x — todos os pontos dessa aresta dão valor 0.
Aresta 4: y=1 com 0\le x\le1.
Aqui f(x,1)=x. Novamente é linear em x no intervalo [0,1]. Portanto:
  • mínimo em x=0 com valor f(0,1)=0,
  • máximo em x=1 com valor f(1,1)=1.
Resumo dos valores encontrados na fronteira: somente os valores 0 e 1 aparecem; o único ponto que dá valor 1 é (1,1); muitos pontos (todas as arestas x=0 e y=0 e também os pontos (1,0) e (0,1)) dão valor 0.

Passo 5

Agora comparo os candidatos a extremos:
  • ponto crítico interior: (0,0) com f=0;
  • na fronteira: valores 0 e 1, com 1 acontecendo em (1,1) e 0 acontecendo em toda a porção onde x=0 ou y=0 (incluindo (0,0), (1,0), (0,1), etc.).
Como x e y são não-negativos no quadrado, xy\ge 0 sempre, então não há valores negativos. Assim o menor valor possível é 0 e o maior encontrado é 1. Concluímos:
  • máximo absoluto: 1 em (1,1);
  • mínimo absoluto: 0 em todos os pontos em que x=0 ou y=0 dentro do quadrado (por exemplo (0,0), (0,y) com y\in[0,1], e (x,0) com x\in[0,1]).

Resposta

Máximo absoluto: 1 em (1,1).
Mínimo absoluto: 0 em todos os pontos com x=0 ou y=0 (por exemplo (0,0), (0,y) com y\in[0,1], e (x,0) com x\in[0,1]).

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