Encontre a direção de maior crescimento da função no ponto dado e a taxa máxima de crescimento:
em
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no ponto
:
- A direção de maior crescimento (ou seja, o vetor unitário que aponta na direção em que
aumenta mais rápido). - A taxa máxima de crescimento (o valor máximo do derivada direcional naquele ponto).
Informações dadas:
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicação didática): a taxa de variação de uma função de duas variáveis numa direção qualquer é medida pela derivada direcional nessa direção. Existe uma ferramenta que resume todas as derivadas direcionais: o gradiente. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de
; ele aponta na direção de maior crescimento e sua magnitude é a taxa máxima de crescimento.
Mais formalmente, se
é o gradiente e
é um vetor unitário (ou seja,
), a derivada direcional de
na direção
é
onde ``
’’ é o produto escalar. Como o produto escalar satisfaz
com
sendo o ângulo entre
e
, essa quantidade é máxima quando
, isto é, quando
tem a mesma direção de
. Então a direção de maior crescimento é a direção do gradiente e a taxa máxima é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Lembre que a derivada parcial em relação a
é como derivar
tratando
como constante, e vice-versa.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Formar o gradiente a partir das derivadas parciais. Por definição,
Substituindo as derivadas obtidas:
Passo 5
Avaliar o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
:
Interpretação rápida e intuitiva: o vetor
aponta na direção que faz
subir mais rápido a partir de
. Geometricamente, como os níveis de
são círculos centrados na origem, o gradiente é radial (aponta para fora do centro).
Passo 6
Encontrar a direção unitária correspondente ao gradiente (para termos a “direção” propriamente dita, convém normalizar o gradiente):
Calcular a norma (magnitude) do gradiente em
:
O vetor unitário na direção do gradiente é
Passo 7
Determinar a taxa máxima de crescimento: como explicado no Passo 2, a maior derivada direcional é exatamente a norma do gradiente. Já calculamos essa norma: