Encontre a direção de maior crescimento da função no ponto dado e a taxa máxima de crescimento:
f(x, y)=x^{2}+y^{2} em (1,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x,y)=x^{2}+y^{2} no ponto (1,1):
  1. A direção de maior crescimento (ou seja, o vetor unitário que aponta na direção em que f aumenta mais rápido).
  2. A taxa máxima de crescimento (o valor máximo do derivada direcional naquele ponto).
Informações dadas:
f(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad\text{o ponto }(1,1).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática): a taxa de variação de uma função de duas variáveis numa direção qualquer é medida pela derivada direcional nessa direção. Existe uma ferramenta que resume todas as derivadas direcionais: o gradiente. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de f; ele aponta na direção de maior crescimento e sua magnitude é a taxa máxima de crescimento.
Mais formalmente, se \nabla f(x,y) é o gradiente e u é um vetor unitário (ou seja, \|u\|=1), a derivada direcional de f na direção u é
D_{u}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot u,
onde `` \cdot’’ é o produto escalar. Como o produto escalar satisfaz
\nabla f\cdot u = \|\nabla f\|\,\|u\|\,\cos\theta = \|\nabla f\|\cos\theta,
com \theta sendo o ângulo entre \nabla f e u, essa quantidade é máxima quando \cos\theta=1, isto é, quando u tem a mesma direção de \nabla f. Então a direção de maior crescimento é a direção do gradiente e a taxa máxima é \|\nabla f\|.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Lembre que a derivada parcial em relação a x é como derivar f tratando y como constante, e vice-versa.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.

Passo 4

Formar o gradiente a partir das derivadas parciais. Por definição,
\displaystyle \nabla f(x,y)=\Big(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Big).
Substituindo as derivadas obtidas:
\nabla f(x,y)=(2x,\,2y).

Passo 5

Avaliar o gradiente no ponto (1,1). Basta substituir x=1 e y=1:
\nabla f(1,1)=(2\cdot 1,\,2\cdot 1)=(2,2).
Interpretação rápida e intuitiva: o vetor (2,2) aponta na direção que faz f subir mais rápido a partir de (1,1). Geometricamente, como os níveis de f são círculos centrados na origem, o gradiente é radial (aponta para fora do centro).

Passo 6

Encontrar a direção unitária correspondente ao gradiente (para termos a “direção” propriamente dita, convém normalizar o gradiente):
Calcular a norma (magnitude) do gradiente em (1,1):
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
O vetor unitário na direção do gradiente é
u=\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\frac{(2,2)}{2\sqrt{2}}=\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big).

Passo 7

Determinar a taxa máxima de crescimento: como explicado no Passo 2, a maior derivada direcional é exatamente a norma do gradiente. Já calculamos essa norma:
\text{taxa máxima}=\|\nabla f(1,1)\|=2\sqrt{2}.á

Resposta

\displaystyle \text{Direção de maior crescimento: }\Big(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big)çã
\displaystyle \text{Taxa máxima de crescimento: }2\sqrt{2}á

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