Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.”
A função e o intervalo fornecidos são:
A função e o intervalo fornecidos são:
-
, - intervalo
.
Perguntas explícitas:
- Qual é o valor máximo absoluto de
em e em que ponto ele ocorre? - Qual é o valor mínimo absoluto de
em e em que ponto ele ocorre?
Informações relevantes que temos:
- A função está definida para todo
real porque o denominador nunca é zero (discriminante negativo). - O intervalo é fechado e limitado
, então por teorema (valor extremo) atinge máximo e mínimo absolutos em pontos críticos no interior ou em pontos extremos do intervalo.
Passo 2
Plano de resolução (sem calcular ainda):
- Para funções contínuas em intervalo fechado, os candidatos a extremos absolutos são os pontos críticos (onde
ou não existe) e os extremos do intervalo ( e ). - Vou calcular
usando a regra do quociente, encontrar pontos críticos em , avaliar nesses pontos e nos extremos, e comparar os valores.
Breve explicação da regra do quociente (fórmula e significado): secom e diferenciáveis e , então
Aqui
e
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
aplicando a regra do quociente:
-
implica . -
implica .
Aplicando a fórmula:
Agora simplificar o numerador:
Portanto
Observação: o denominador
é sempre positivo (já que
para todo
), então
existe para todo
e seu sinal é dado pelo numerador
.
Passo 4
Encontrar pontos críticos: resolver
e checar onde
não existe.
- Como
existe para todo , não há pontos onde não existe. - Resolver
dá
Dos dois, apenas
pertence ao intervalo
. Logo o único ponto crítico em
é
.
Passo 5
Listar os pontos candidatos a extremos absolutos (pontos críticos no interior + extremos do intervalo):
-
(extremo do intervalo), -
(ponto crítico interior), -
(extremo do intervalo).
Agora avaliar
em cada um deles.
Passo 6
Calcular
nos pontos candidatos, mostrando as contas:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Comparações numéricas aproximadas (só para intuição):
,
,
é
.
Passo 7
Determinar máximos e mínimos comparando os valores:
- O maior valor entre
é , que ocorre em . Portanto há um máximo absoluto em . - O menor valor é
, que ocorre em . Como para (numerador e denominador são não-negativos e denominador positivo), não há valores negativos no intervalo; assim é de fato o mínimo absoluto.
Para reforçar a natureza do ponto crítico: o sinal de
é positivo para
(pois
) e negativo para
(pois
), então
aumenta até
e depois diminui, confirmando que
é um máximo absoluto.
Resposta
Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto: em
.
Mínimo absoluto: