Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=\frac{x}{x^{2}+x+1}, \quad[0,3]

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.”
A função e o intervalo fornecidos são:
  • f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+x+1},
  • intervalo [0,3].
Perguntas explícitas:
  • Qual é o valor máximo absoluto de f em [0,3] e em que ponto ele ocorre?
  • Qual é o valor mínimo absoluto de f em [0,3] e em que ponto ele ocorre?
Informações relevantes que temos:
  • A função está definida para todo x real porque o denominador x^{2}+x+1 nunca é zero (discriminante negativo).
  • O intervalo é fechado e limitado [0,3], então por teorema (valor extremo) f atinge máximo e mínimo absolutos em pontos críticos no interior ou em pontos extremos do intervalo.

Passo 2

Plano de resolução (sem calcular ainda):
  • Para funções contínuas em intervalo fechado, os candidatos a extremos absolutos são os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) e os extremos do intervalo ( x=0 e x=3).
  • Vou calcular f'(x) usando a regra do quociente, encontrar pontos críticos em [0,3], avaliar f nesses pontos e nos extremos, e comparar os valores.
    Breve explicação da regra do quociente (fórmula e significado): se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x)=x e v(x)=x^{2}+x+1. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular f'(x) aplicando a regra do quociente:
  • u(x)=x implica u'(x)=1.
  • v(x)=x^{2}+x+1 implica v'(x)=2x+1.
    Aplicando a fórmula:
f'(x)=\frac{1\cdot (x^{2}+x+1)-x\cdot(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
Agora simplificar o numerador:
1\cdot (x^{2}+x+1)-x(2x+1)=x^{2}+x+1-2x^{2}-x=1-x^{2}.
Portanto
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
Observação: o denominador (x^{2}+x+1)^{2} é sempre positivo (já que x^{2}+x+1>0 para todo x), então f'(x) existe para todo x e seu sinal é dado pelo numerador 1-x^{2}.

Passo 4

Encontrar pontos críticos: resolver f'(x)=0 e checar onde f' não existe.
  • Como f'(x) existe para todo x, não há pontos onde f' não existe.
  • Resolver 1-x^{2}=0
1-x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Dos dois, apenas x=1 pertence ao intervalo [0,3]. Logo o único ponto crítico em [0,3] é x=1.

Passo 5

Listar os pontos candidatos a extremos absolutos (pontos críticos no interior + extremos do intervalo):
  • x=0 (extremo do intervalo),
  • x=1 (ponto crítico interior),
  • x=3 (extremo do intervalo).
Agora avaliar f em cada um deles.

Passo 6

Calcular f nos pontos candidatos, mostrando as contas:
  • Em x=0:
f(0)=\frac{0}{0^{2}+0+1}=\frac{0}{1}=0.
  • Em x=1:
f(1)=\frac{1}{1^{2}+1+1}=\frac{1}{3}.
  • Em x=3:
f(3)=\frac{3}{3^{2}+3+1}=\frac{3}{9+3+1}=\frac{3}{13}.
Comparações numéricas aproximadas (só para intuição):
\dfrac{1}{3}\approx0{,}333\ldots, \dfrac{3}{13}\approx0{,}2307\ldots, 0 é 0.

Passo 7

Determinar máximos e mínimos comparando os valores:
  • O maior valor entre \{0,\tfrac{1}{3},\tfrac{3}{13}\} é \tfrac{1}{3}, que ocorre em x=1. Portanto há um máximo absoluto em x=1.
  • O menor valor é 0, que ocorre em x=0. Como f(x)\ge0 para x\ge0 (numerador e denominador são não-negativos e denominador positivo), não há valores negativos no intervalo; assim 0 é de fato o mínimo absoluto.
Para reforçar a natureza do ponto crítico: o sinal de f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}} é positivo para 0\le x<1 (pois 1-x^{2}>0) e negativo para x>1 (pois 1-x^{2}<0), então f aumenta até x=1 e depois diminui, confirmando que x=1 é um máximo absoluto.

Resposta

Máximo absoluto: f(1)=\dfrac{1}{3} em x=1.
Mínimo absoluto: f(0)=0 em x=0.

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