Encontre os números críticos da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os números críticos dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está explicitamente definida por
. - O domínio natural desta função é todo
, porque para todo . - O que se pede: identificar os números críticos (os valores de
no domínio onde ou onde não existe).
Passo 2
O que são números críticos (explicação didática e direta):
- Um número crítico é um ponto
do domínio da função tal que a derivada é igual a zero ou não existe. - Portanto, para achar os números críticos, primeiro calculamos
, depois resolvemos e também verificamos se existe algum do domínio onde seja indefinida.
Passo 3
Como calcular a derivada (regra usada e definição das partes):
- A função é um quociente de duas funções: escrevemos
e . - A regra do quociente diz: se
então
- Aqui
é a derivada de e é a derivada de .
Passo 4
Aplicando a regra do quociente passo a passo:
- Calcula-se
e :
- Substituindo na fórmula da regra do quociente:
- Desenvolvendo o numerador com calma:
- Logo a derivada fica
Passo 5
Resolver
(encontrar onde o numerador se anula):
- Como o denominador
nunca é zero (pois ), a igualdade é equivalente a anular o numerador:
- Multiplica-se por
para simplificar:
- Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para
as raízes são . Aqui , , . Calculando o discriminante:
- Logo as raízes são
- Simplificando
:
Passo 6
Verificar pontos onde
não existe:
- O denominador
nunca é zero para qualquer , portanto existe para todo real. - Não há pontos onde
seja indefinida dentro do domínio.
Passo 7
Conclusão e interpretação final:
- Os únicos números críticos são os
do domínio em que , que encontramos como
- (Opcional para intuir a posição na reta: numericamente
e .)