Encontre os números críticos da função.
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+4}
e pede para encontrar os números críticos dessa função.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está explicitamente definida por f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}+4}.
  • O domínio natural desta função é todo \mathbb{R}, porque x^{2}+4>0 para todo x.
  • O que se pede: identificar os números críticos (os valores de x no domínio onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe).

Passo 2

O que são números críticos (explicação didática e direta):
  • Um número crítico é um ponto x do domínio da função tal que a derivada f'(x) é igual a zero ou não existe.
  • Portanto, para achar os números críticos, primeiro calculamos f'(x), depois resolvemos f'(x)=0 e também verificamos se existe algum x do domínio onde f'(x) seja indefinida.

Passo 3

Como calcular a derivada (regra usada e definição das partes):
  • A função é um quociente de duas funções: escrevemos u(x)=x-1 e v(x)=x^{2}+4.
  • A regra do quociente diz: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
  • Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente passo a passo:
  • Calcula-se u'(x) e v'(x):
u(x)=x-1\quad\Rightarrow\quad u'(x)=1,
v(x)=x^{2}+4\quad\Rightarrow\quad v'(x)=2x.
  • Substituindo na fórmula da regra do quociente:
f'(x)=\frac{1\cdot (x^{2}+4)-(x-1)\cdot(2x)}{(x^{2}+4)^{2}}.
  • Desenvolvendo o numerador com calma:
1\cdot (x^{2}+4)=x^{2}+4,
(x-1)\cdot(2x)=2x(x-1)=2x^{2}-2x,
\text{numerador} = x^{2}+4-(2x^{2}-2x) = x^{2}+4-2x^{2}+2x = -x^{2}+2x+4.
  • Logo a derivada fica
f'(x)=\frac{-x^{2}+2x+4}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 5

Resolver f'(x)=0 (encontrar onde o numerador se anula):
  • Como o denominador (x^{2}+4)^{2} nunca é zero (pois x^{2}+4\ge4), a igualdade f'(x)=0 é equivalente a anular o numerador:
-x^{2}+2x+4=0.
  • Multiplica-se por -1 para simplificar:
x^{2}-2x-4=0.
  • Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para ax^{2}+bx+c=0 as raízes são x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=1, b=-2, c=-4. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=4+16=20.
  • Logo as raízes são
x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{20}}{2\cdot1}=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}.
  • Simplificando \sqrt{20}=2\sqrt{5}:
x=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}=1\pm\sqrt{5}.

Passo 6

Verificar pontos onde f'(x) não existe:
  • O denominador (x^{2}+4)^{2} nunca é zero para qualquer x\in\mathbb{R}, portanto f'(x) existe para todo x real.
  • Não há pontos onde f'(x) seja indefinida dentro do domínio.

Passo 7

Conclusão e interpretação final:
  • Os únicos números críticos são os x do domínio em que f'(x)=0, que encontramos como
x=1+\sqrt{5}\quad\text{e}\quad x=1-\sqrt{5}.
  • (Opcional para intuir a posição na reta: numericamente \,1-\sqrt{5}\approx -1{,}236 e \,1+\sqrt{5}\approx 3{,}236.)

Resposta

x=1+\sqrt{5}
x=1-\sqrt{5}

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