Encontre os valores máximo/mínimo locais e absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x+\frac{1}{x}, \mathrm{em}[0.2,4].

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo locais e absolutos de f no intervalo [0{,}2,4].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x+\dfrac{1}{x}.
  • O intervalo considerado é [0{,}2,4] (ou seja, x varia de 0{,}2 até 4, incluindo as extremidades).
  • Deve-se avaliar tanto extremos interiores (locais) quanto extremos absolutos no intervalo fechado.

Passo 2

Estratégia (breve, sem resolver ainda): para encontrar extremos em um intervalo fechado usa-se:
  • Procurar pontos críticos interiores onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe (mas dentro do intervalo).
  • Avaliar f nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo ( x=0{,}2 e x=4).
  • Comparar os valores para identificar máximos e mínimos absolutos.
  • Para classificar como mínimo ou máximo local, pode-se usar a segunda derivada ou o sinal de f' à esquerda/direita.

Passo 3

Calcular a derivada de f. Vou explicar como derivar termo a termo:
  • A derivada de x é 1.
  • A derivada de 1/x pode ser lembrada escrevendo 1/x=x^{-1}; a derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Logo,
f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}}.
Para manipular com fração comum, podemos escrever
f'(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}.

Passo 4

Encontrar pontos críticos no interior do intervalo [0{,}2,4].
  • Zerar a derivada:
f'(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-1=0.
  • Assim x^{2}=1 e x=\pm 1. Desses, apenas x=1 pertence ao intervalo [0{,}2,4]. O valor x=-1 está fora.
  • Verificar pontos onde f' não existe: f'(x) seria indefinida em x=0 (denominador x^{2}=0), mas x=0 não pertence ao intervalo [0{,}2,4]. Então não há mais pontos críticos.
Portanto há exatamente um ponto crítico interior: x=1.

Passo 5

Classificar o ponto crítico x=1 (mínimo ou máximo local). Vou usar a segunda derivada — isso ajuda porque é direto e claro.
  • Calcular f''(x). A derivada de f'(x)=1- x^{-2} é
f''(x)=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^{3}}.
  • Para x=1 temos
f''(1)=\dfrac{2}{1^{3}}=2>0.
Regra: se f''(x_0)>0 então f tem mínimo local em x_0. Logo x=1 é um mínimo local.

Passo 6

Analisar o comportamento do sinal de f' para entender o formato da função (útil para extremos nos extremos do intervalo):
  • Observação sobre f': f'(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}. Para x>0 (nosso intervalo toda parte é x>0):
    • se 0<x<1 então x^{2}-1<0 f'(x)<0 (função decresce);
    • se x>1 então x^{2}-1>0 f'(x)>0 (função cresce).
  • Portanto f decresce em [0{,}2,1) e cresce em (1,4]. Isso confirma que x=1 é um mínimo (vale como mínimo local e candidato a mínimo absoluto).

Passo 7

Avaliar f nos pontos relevantes: ponto crítico e extremos do intervalo. Vou calcular cada valor e explicar cada passo aritmético para ficar claro.
  • Em x=1:
f(1)=1+\dfrac{1}{1}=1+1=2.
  • Em x=0{,}2: lembrar que 0{,}2=\dfrac{1}{5}. Então \dfrac{1}{0{,}2}=5.
f(0{,}2)=0{,}2+\dfrac{1}{0{,}2}=0{,}2+5=5{,}2.
  • Em x=4:
f(4)=4+\dfrac{1}{4}=4+\;0{,}25=4{,}25.
Resumo dos valores:
  • f(0{,}2)=5{,}2.
  • f(1)=2.
  • f(4)=4{,}25.

Passo 8

Identificar máximos e mínimos locais e absolutos a partir dos valores e do comportamento de f.
  • Mínimo local: já vimos que x=1 é mínimo local (porque f''(1)>0) e, comparando os três valores, f(1)=2 é o menor valor entre os três avaliados. Como o intervalo é fechado e não há outros pontos críticos, x=1 é também o mínimo absoluto no intervalo [0{,}2,4].
  • Máximos locais: como a função decresce em [0{,}2,1) e cresce em (1,4], os extremos do intervalo são pontos onde a função, considerando vizinhança dentro do domínio, assume valores maiores do que os pontos próximos:
    • Em x=0{,}2: imediatamente à direita a função decresce (pois para x<1 a derivada é negativa), então f(0{,}2) é maior que valores próximos à direita — portanto x=0{,}2 é um máximo local (um extremo de fronteira).
    • Em x=4: imediatamente à esquerda a função cresce até x=4 (pois para x>1 a derivada é positiva), então f(4) é maior que valores próximos à esquerda — portanto x=4 é também um máximo local (extremo de fronteira).
  • Máximo absoluto: comparando f(0{,}2)=5{,}2, f(4)=4{,}25 e f(1)=2, o maior é f(0{,}2)=5{,}2. Logo o máximo absoluto no intervalo ocorre em x=0{,}2.

Resposta

Mínimo local e absoluto: x=1, f(1)=2
Máximos locais (extremidades): x=0{,}2, f(0{,}2)=5{,}2 e x=4, f(4)=4{,}25
Máximo absoluto: x=0{,}2, f(0{,}2)=5{,}2

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