Encontre os valores máximo/mínimo locais e absolutos de
no intervalo dado.
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo locais e absolutos de
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
(ou seja, varia de até , incluindo as extremidades). - Deve-se avaliar tanto extremos interiores (locais) quanto extremos absolutos no intervalo fechado.
Passo 2
Estratégia (breve, sem resolver ainda): para encontrar extremos em um intervalo fechado usa-se:
- Procurar pontos críticos interiores onde
ou não existe (mas dentro do intervalo). - Avaliar
nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo ( e ). - Comparar os valores para identificar máximos e mínimos absolutos.
- Para classificar como mínimo ou máximo local, pode-se usar a segunda derivada ou o sinal de
à esquerda/direita.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Vou explicar como derivar termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
pode ser lembrada escrevendo ; a derivada de é .
Logo,
Para manipular com fração comum, podemos escrever
Passo 4
Encontrar pontos críticos no interior do intervalo
.
- Zerar a derivada:
- Assim
e . Desses, apenas pertence ao intervalo . O valor está fora. - Verificar pontos onde
não existe: seria indefinida em (denominador ), mas não pertence ao intervalo . Então não há mais pontos críticos.
Portanto há exatamente um ponto crítico interior:
.
Passo 5
Classificar o ponto crítico
(mínimo ou máximo local). Vou usar a segunda derivada — isso ajuda porque é direto e claro.
- Calcular
. A derivada de é
- Para
temos
Regra: se
então
tem mínimo local em
. Logo
é um mínimo local.
Passo 6
Analisar o comportamento do sinal de
para entender o formato da função (útil para extremos nos extremos do intervalo):
- Observação sobre
: . Para (nosso intervalo toda parte é ): - se
então ⇒ (função decresce); - se
então ⇒ (função cresce).
- se
- Portanto
decresce em e cresce em . Isso confirma que é um mínimo (vale como mínimo local e candidato a mínimo absoluto).
Passo 7
Avaliar
nos pontos relevantes: ponto crítico e extremos do intervalo. Vou calcular cada valor e explicar cada passo aritmético para ficar claro.
- Em
:
- Em
: lembrar que . Então .
- Em
:
Resumo dos valores:
-
. -
. -
.
Passo 8
Identificar máximos e mínimos locais e absolutos a partir dos valores e do comportamento de
.
-
Mínimo local: já vimos que
é mínimo local (porque ) e, comparando os três valores, é o menor valor entre os três avaliados. Como o intervalo é fechado e não há outros pontos críticos, é também o mínimo absoluto no intervalo . -
Máximos locais: como a função decresce em
e cresce em , os extremos do intervalo são pontos onde a função, considerando vizinhança dentro do domínio, assume valores maiores do que os pontos próximos: - Em
: imediatamente à direita a função decresce (pois para a derivada é negativa), então é maior que valores próximos à direita — portanto é um máximo local (um extremo de fronteira). - Em
: imediatamente à esquerda a função cresce até (pois para a derivada é positiva), então é maior que valores próximos à esquerda — portanto é também um máximo local (extremo de fronteira).
- Em
-
Máximo absoluto: comparando
, e , o maior é . Logo o máximo absoluto no intervalo ocorre em .
Resposta
Mínimo local e absoluto:
,
Máximos locais (extremidades): ,
e
,
Máximo absoluto: ,
Máximos locais (extremidades):
Máximo absoluto: