1. Uma construtora precisa fazer um duto de ventilação retangular com área de seção transversal de 600 \mathrm{~cm}^{2}. O duto será feito de chapa metálica, onde o material para as paredes laterais custa \mathrm{R} \ 80 por\mathrm{m}^{2} , o material para a base custa\mathrm{R} $120 por\mathrm{m}^{2} (reforçado), e a tampa custaç\mathrm{R} $ 150 por\mathrm{m}^{2}$ (inox). Por limitações do espaço disponível, a largura do duto deve estar entre 15 cm e 25 cm .
    (a) Seja x a largura do duto (em cm ). Expresse a altura h em função de x, usando a restrição da área.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta:
  • A área da seção transversal do duto é \,600\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • A largura do duto, chamada de x, deve satisfazer \,15\le x\le 25 (em cm).
  • A pergunta (parte (a)) pede: “Seja x a largura do duto (em cm). Expresse a altura h em função de x, usando a restrição da área.”

Passo 2

Vamos definir claramente as variáveis (sempre bom revisar as letras e unidades):
  • x = largura do duto, em cm.
  • h = altura do duto, em cm.
    A área de uma seção retangular é dada pelo produto da largura pela altura. Então, escrevemos a equação que vem da restrição da área:
\text{área} = x\cdot h.á
Como a área é \,600\\ \mathrm{cm}^{2}, obtemos a equação
x\cdot h = 600.

Passo 3

Agora isolamos h na equação anterior. Isso fazemos dividindo ambos os lados por x (lembrando que x\neq 0; aqui além disso x>0 e está entre \,15 e \,25 cm):
h=\frac{600}{x}.
Expliquei a operação: dividir uma equação por x equivale a “passar” x para o outro lado como um divisor.

Passo 4

Interpretação prática e domínio: como foi dado que x está entre \,15 e \,25 cm, o valor de h fica entre
h_{\max}=\frac{600}{15}=40\\ \text{cm} \qquad\text{e}\qquad h_{\min}=\frac{600}{25}=24\\ \text{cm}.
Exemplo rápido para ver que a fórmula faz sentido: se x=20 cm então \,h=\dfrac{600}{20}=30 cm — a área é 20\cdot30=600.

Resposta

\displaystyle h=\frac{600}{x}\\ \text{cm},\quad\text{com }15\le x\le 25\\ (\text{em cm})

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