Responda os itens seguintes:
(c) Os pontos de fronteira de um intervalo fechado [a, b] podem ser extremos locais? Explique.

Passo 1

O enunciado pede que se responda e se explique: Os pontos de fronteira do intervalo fechado [a,b] podem ser extremos locais?
Informações dadas (explícitas/implícitas):
  • O intervalo considerado é [a,b] com a<b.
  • Os pontos de fronteira desse intervalo são a e b.
  • A pergunta refere-se a “extremos locais” em relação a uma função f definida em [a,b] (mesmo que a função não esteja escrita no enunciado, a noção de extremo local é sempre relativa a uma função).

Passo 2

Definição precisa (fundamental para entender a resposta). Seja f:D\to\mathbb{R} e x_0\in D.
  • Dizemos que x_0 é um máximo local de f se existir \delta>0 tal que
\forall x\in D,\quad |x-x_0|<\delta \implies f(x)\le f(x_0).
  • Dizemos que x_0 é um mínimo local de f se existir \delta>0 tal que
\forall x\in D,\quad |x-x_0|<\delta \implies f(x)\ge f(x_0).
Explanação curta dessa definição em palavras: procura-se uma vizinhança em torno de x_0 (interseção do intervalo aberto (x_0-\delta,x_0+\delta) com o domínio D) onde todos os valores de f ficam abaixo (máximo) ou acima (mínimo) do valor em x_0.

Passo 3

Como essa definição se aplica a pontos de fronteira de [a,b]. Para x_0=a (extremo esquerdo do domínio D=[a,b]) a condição acima fica automaticamente unidirecional: é preciso existir \delta>0 tal que
\forall x\in D\cap (a,a+\delta),\quad \text{temos } f(x)\le f(a)\\ \\ (\text{para máximo local})á
ou
\forall x\in D\cap (a,a+\delta),\quad \text{temos } f(x)\ge f(a)\\ \\ (\text{para mínimo local}).í
Analogamente, para x_0=b a vizinhança relevante é D\cap (b-\delta,b). Ou seja, a definição de extremo local é perfeitamente aplicável a pontos de fronteira se interpretarmos a vizinhança como a interseção do intervalo aberto com o domínio; não é necessário que a vizinhança seja simétrica em torno de x_0.

Passo 4

Exemplos concretos que mostram os dois casos (positivo e negativo).
  • Exemplo positivo (ponto de fronteira que é extremo local). Tome f(x)=x com domínio D=[0,1]. Então f(0)=0 e, para qualquer x\in D com 0\le x<\delta, tem-se f(x)=x\ge 0=f(0). Logo existe \delta>0 (por exemplo \delta=0,1) tal que para todo x\in D\cap(0,0+\delta) vale f(x)\ge f(0). Portanto x_0=0 é um mínimo local (e também global) apesar de ser ponto de fronteira.
  • Exemplo positivo (outro): f(x)=x em D=[0,1] tem x_0=1 como máximo local, pois para x\in D próximos de 1 à esquerda, f(x)<f(1).
  • Exemplo negativo (ponto de fronteira que não é extremo local). Tome f(x)=\sin x em D=[0,2\pi]. Em x_0=0 temos f(0)=0, mas para pequenos x>0 tem-se f(x)>0, e para certos x próximos de 0 à direita f(x) será maior e menor que 0. Assim não existe \delta>0 que satisfaça a condição de máximo ou mínimo local em 0; logo 0 não é extremo local.

Passo 5

Observação sobre derivadas (uma armadilha comum na prova). O teorema de Fermat diz que, se f é diferenciável em x_0 e x_0 é um extremo local interior, então f'(x_0)=0. Importante:
  • Esse resultado vale apenas para pontos interiores do domínio. Para pontos de fronteira ele não se aplica.
  • Assim, um ponto de fronteira pode ser extremo local mesmo que a derivada (quando existir) não seja zero. Exemplo: f(x)=x em [0,1] tem f'(0)=1\neq 0, mas 0 é mínimo local. Isso é algo que costuma surpreender, então vale destacar.

Passo 6

Critério prático para provas (como proceder ao resolver uma questão):
  1. Verifique pontos interiores: use derivada e o teste de segunda derivada ou análise do sinal de f' (se aplicável).
  2. Verifique os pontos de fronteira a e b separadamente, usando vizinhança unilateral (ou seja, comparar f(a) com valores f(x) para x em (a,a+\delta) e comparar f(b) com valores f(x) para x em (b-\delta,b)).
  3. Lembre-se: não exigir f'(a)=0 nem f'(b)=0; derivados em fronteira não dão a mesma condição necessária que nos pontos interiores.

Resposta

Sim. Pontos de fronteira de [a,b] podem ser extremos locais: basta que exista uma vizinhança unilateral (à direita para a, à esquerda para b) dentro do domínio onde todos os valores de f sejam maiores (mínimo) ou menores (máximo) que o valor em a ou em b. Exemplos e contraexemplos foram apresentados nos passos anteriores.

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