Responda os itens seguintes:
(c) Os pontos de fronteira de um intervalo fechado
podem ser extremos locais? Explique.
(c) Os pontos de fronteira de um intervalo fechado
Passo 1
O enunciado pede que se responda e se explique:
Os pontos de fronteira do intervalo fechado
podem ser extremos locais?
Informações dadas (explícitas/implícitas):
Informações dadas (explícitas/implícitas):
- O intervalo considerado é
com . - Os pontos de fronteira desse intervalo são
e . - A pergunta refere-se a “extremos locais” em relação a uma função
definida em (mesmo que a função não esteja escrita no enunciado, a noção de extremo local é sempre relativa a uma função).
Passo 2
Definição precisa (fundamental para entender a resposta). Seja
e
.
- Dizemos que
é um máximo local de se existir tal que
- Dizemos que
é um mínimo local de se existir tal que
Explanação curta dessa definição em palavras: procura-se uma vizinhança em torno de
(interseção do intervalo aberto
com o domínio
) onde todos os valores de
ficam abaixo (máximo) ou acima (mínimo) do valor em
.
Passo 3
Como essa definição se aplica a pontos de fronteira de
. Para
(extremo esquerdo do domínio
) a condição acima fica automaticamente unidirecional: é preciso existir
tal que
ou
Analogamente, para
a vizinhança relevante é
. Ou seja, a definição de extremo local é perfeitamente aplicável a pontos de fronteira se interpretarmos a vizinhança como a interseção do intervalo aberto com o domínio; não é necessário que a vizinhança seja simétrica em torno de
.
Passo 4
Exemplos concretos que mostram os dois casos (positivo e negativo).
- Exemplo positivo (ponto de fronteira que é extremo local). Tome
com domínio . Então e, para qualquer com , tem-se . Logo existe (por exemplo ) tal que para todo vale . Portanto é um mínimo local (e também global) apesar de ser ponto de fronteira. - Exemplo positivo (outro):
em tem como máximo local, pois para próximos de à esquerda, . - Exemplo negativo (ponto de fronteira que não é extremo local). Tome
em . Em temos , mas para pequenos tem-se , e para certos próximos de à direita será maior e menor que . Assim não existe que satisfaça a condição de máximo ou mínimo local em ; logo não é extremo local.
Passo 5
Observação sobre derivadas (uma armadilha comum na prova). O teorema de Fermat diz que, se
é diferenciável em
e
é um extremo local interior, então
. Importante:
- Esse resultado vale apenas para pontos interiores do domínio. Para pontos de fronteira ele não se aplica.
- Assim, um ponto de fronteira pode ser extremo local mesmo que a derivada (quando existir) não seja zero. Exemplo:
em tem , mas é mínimo local. Isso é algo que costuma surpreender, então vale destacar.
Passo 6
Critério prático para provas (como proceder ao resolver uma questão):
- Verifique pontos interiores: use derivada e o teste de segunda derivada ou análise do sinal de
(se aplicável). - Verifique os pontos de fronteira
e separadamente, usando vizinhança unilateral (ou seja, comparar com valores para em e comparar com valores para em ). - Lembre-se: não exigir
nem ; derivados em fronteira não dão a mesma condição necessária que nos pontos interiores.
Resposta
Sim. Pontos de fronteira de
podem ser extremos locais: basta que exista uma vizinhança unilateral (à direita para
, à esquerda para
) dentro do domínio onde todos os valores de
sejam maiores (mínimo) ou menores (máximo) que o valor em
ou em
. Exemplos e contraexemplos foram apresentados nos passos anteriores.