Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função f : A \rightarrow \mathbb{R} em que
f(x, y)=1+x y-2 x+y e A é conjunto compacto delimitado pelo triângulo de vértices (1,-2),(-5,-2) e (1,2)

Passo 1

O problema pede encontrar os valores máximo e mínimo da função f\colon A\to\mathbb{R} e os pontos onde esses extremos ocorrem, sendo
f(x,y)=1+xy-2x+y
e A o conjunto compacto dado pelo triângulo com vértices (1,-2),\,(-5,-2) e (1,2).
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=1+xy-2x+y.
  • O domínio A é o triângulo fechado cujos vértices são (1,-2),\,(-5,-2),\,(1,2).
  • O objetivo é dar o valor máximo e mínimo de f em A e indicar os pontos onde esses valores ocorrem.

Passo 2

Ideia e justificativa das etapas que vamos aplicar (sem resolver ainda):
  • Como A é compacto (conjunto fechado e limitado) e f é contínua (polinomial), o Teorema de Weierstrass garante que f atinge máximo e mínimo em A. Portanto devemos procurar:
    1. pontos críticos no interior de A (onde o gradiente é nulo);
    2. extremos sobre as arestas do triângulo (cada aresta é um segmento fechado — reduzimos a um problema unidimensional).
  • Assim, primeiro calculamos \nabla f e resolvemos \nabla f=0. Se o ponto crítico estiver fora de A, ignoramos e passamos a otimizar em cada aresta, checando também os vértices.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e encontrar pontos críticos:
\frac{\partial f}{\partial x}=y-2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x+1.
Resolver \nabla f=0 dá o sistema
y-2=0,\qquad x+1=0.
Logo o único ponto crítico é
(x,y)=(-1,2).

Passo 4

Verificar se o ponto crítico (-1,2) pertence ao triângulo A.
Primeiro escrevemos a equação da aresta que liga (-5,-2) a (1,2) (a hipotenusa do triângulo). A inclinação é
m=\frac{2-(-2)}{1-(-5)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},
logo a equação é
y+2=\frac{2}{3}(x+5)\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}.
Observe que o único ponto do triângulo com coordenada y=2 é quando x=1 (substituindo y=2 na equação acima obtém-se x=1). Assim o ponto (-1,2) NÃO pertence ao triângulo A. Conclusão: não há pontos críticos interiores de f em A.

Passo 5

Portanto os candidatos a extremos são apenas pontos nas arestas (incluindo os vértices). Vamos analisar cada aresta separadamente.
Denotemos os vértices:
A_1=(1,-2),\quad A_2=(-5,-2),\quad A_3=(1,2).
As arestas são:
  • aresta A_1A_2: segmento entre (-5,-2) e (1,-2) (reta horizontal y=-2, x\in[-5,1]);
  • aresta A_1A_3: segmento entre (1,-2) e (1,2) (reta vertical x=1, y\in[-2,2]);
  • aresta A_2A_3: segmento entre (-5,-2) e (1,2) cuja equação já obtemos: y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}, com x\in[-5,1].

Passo 6

Analisar a aresta A_1A_2 ( y=-2,\;x\in[-5,1]).
Substituindo y=-2 em f:
f(x,-2)=1+x(-2)-2x+(-2)=1-2x-2x-2=-1-4x.
Isto é uma função linear de x. Em um intervalo fechado, uma função linear atinge extremos apenas nas extremidades. Avaliamos nos extremos x=-5 e x=1:
f(-5,-2)=-1-4(-5)=-1+20=19,
f(1,-2)=-1-4(1)=-5.

Passo 7

Analisar a aresta A_1A_3 ( x=1,\;y\in[-2,2]).
Substituindo x=1 em f:
f(1,y)=1+1\cdot y-2\cdot1+y=1+y-2+y=-1+2y.
Também é função linear de y, logo os extremos ocorrem em y=-2 e y=2. Calculamos:
f(1,-2)=-1+2(-2)=-5 \quad(\text{já obtido}),á
f(1,2)=-1+2\cdot 2=3.

Passo 8

Analisar a aresta A_2A_3 (hipotenusa) com y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3} e x\in[-5,1].
Substituímos na função:
xy=x\!\left(\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\right)=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x,
então
f\bigl(x,\tfrac{2}{3}x+\tfrac{4}{3}\bigr)=1+\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x-2x+\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}.
Agrupando os termos em x:
\frac{4}{3}x-2x+\frac{2}{3}x=\left(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}-2\right)x=(2-2)x=0.
Logo sobra apenas o termo quadrático e constantes:
f\bigl(x,\tfrac{2}{3}x+\tfrac{4}{3}\bigr)=\frac{2}{3}x^2+\left(1+\frac{4}{3}\right)=\frac{2}{3}x^2+\frac{7}{3}.
Isto é uma parábola (função do tipo ax^2+b com a>0), que abre para cima. Assim o mínimo na aresta ocorre no vértice da parábola, onde x=0, e os máximos ocorrem em algum dos extremos do intervalo x\in[-5,1].
Calcule os valores:
  • no ponto interior x=0: y=\dfrac{2}{3}\cdot 0+\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3} e
f\left(0,\frac{4}{3}\right)=\frac{7}{3}.
  • nos extremos x=-5 e x=1 já calculados anteriormente, verificamos:
f(-5,-2)=19,\qquad f(1,2)=3.
(Confirmação: para x=-5, \frac{2}{3}(-5)^2+\frac{7}{3}=\frac{50}{3}+\frac{7}{3}=\frac{57}{3}=19. Para x=1, \frac{2}{3}+\frac{7}{3}=\frac{9}{3}=3.)

Passo 9

Reunir todos os valores candidatos a extremos obtidos:
  • f(-5,-2)=19.
  • f(1,-2)=-5.
  • f(1,2)=3.
  • f\!\left(0,\tfrac{4}{3}\right)=\tfrac{7}{3}\approx2{,}333.
Comparando, o maior valor é 19 em (-5,-2) e o menor valor é -5 em (1,-2).

Resposta

Máximo: 19 em (-5,-2)
Mínimo: -5 em (1,-2)

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