Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função
:
em que
e
é conjunto compacto delimitado pelo triângulo de vértices
e
Passo 1
O problema pede encontrar os valores máximo e mínimo da função
e os pontos onde esses extremos ocorrem, sendo
e
o conjunto compacto dado pelo triângulo com vértices
e
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O domínio
é o triângulo fechado cujos vértices são . - O objetivo é dar o valor máximo e mínimo de
em e indicar os pontos onde esses valores ocorrem.
Passo 2
Ideia e justificativa das etapas que vamos aplicar (sem resolver ainda):
- Como
é compacto (conjunto fechado e limitado) e é contínua (polinomial), o Teorema de Weierstrass garante que atinge máximo e mínimo em . Portanto devemos procurar: - pontos críticos no interior de
(onde o gradiente é nulo); - extremos sobre as arestas do triângulo (cada aresta é um segmento fechado — reduzimos a um problema unidimensional).
- pontos críticos no interior de
- Assim, primeiro calculamos
e resolvemos . Se o ponto crítico estiver fora de , ignoramos e passamos a otimizar em cada aresta, checando também os vértices.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e encontrar pontos críticos:
Resolver
dá o sistema
Logo o único ponto crítico é
Passo 4
Verificar se o ponto crítico
pertence ao triângulo
.
Primeiro escrevemos a equação da aresta que liga
a
(a hipotenusa do triângulo). A inclinação é
logo a equação é
Observe que o único ponto do triângulo com coordenada
é quando
(substituindo
na equação acima obtém-se
). Assim o ponto
NÃO pertence ao triângulo
. Conclusão: não há pontos críticos interiores de
em
.
Passo 5
Portanto os candidatos a extremos são apenas pontos nas arestas (incluindo os vértices). Vamos analisar cada aresta separadamente.
Denotemos os vértices:
As arestas são:
- aresta
: segmento entre e (reta horizontal , ); - aresta
: segmento entre e (reta vertical , ); - aresta
: segmento entre e cuja equação já obtemos: , com .
Passo 6
Analisar a aresta
(
).
Substituindo
em
:
Isto é uma função linear de
. Em um intervalo fechado, uma função linear atinge extremos apenas nas extremidades. Avaliamos nos extremos
e
:
Passo 7
Analisar a aresta
(
).
Substituindo
em
:
Também é função linear de
, logo os extremos ocorrem em
e
. Calculamos:
Passo 8
Analisar a aresta
(hipotenusa) com
e
.
Substituímos na função:
então
Agrupando os termos em
:
Logo sobra apenas o termo quadrático e constantes:
Isto é uma parábola (função do tipo
com
), que abre para cima. Assim o mínimo na aresta ocorre no vértice da parábola, onde
, e os máximos ocorrem em algum dos extremos do intervalo
.
Calcule os valores:
- no ponto interior
: e
- nos extremos
e já calculados anteriormente, verificamos:
(Confirmação: para
,
. Para
,
.)
Passo 9
Reunir todos os valores candidatos a extremos obtidos:
-
. -
. -
. -
.
Comparando, o maior valor é
em
e o menor valor é
em
.
Resposta
Máximo:
em
Mínimo: em
Mínimo: