Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função f : A \rightarrow \mathbb{R} em que
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+1 e A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right. e \left.y \geq|x|\right\}

Passo 1

O enunciado dá as informações abaixo:
  • A função é f\colon A \to \mathbb{R} definida por f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
  • O conjunto A é
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\\ \text{e}\\ y\geq |x|\}.
As perguntas que devemos responder são:
  • Encontrar o valor mínimo de f em A e os pontos de A onde esse mínimo ocorre.
  • Encontrar o valor máximo de f em A e os pontos de A onde esse máximo ocorre.

Passo 2

Observação útil sobre a função (uma ideia-chave que facilita tudo): defina r pela
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Então a função pode ser escrita em termos de r:
f(x,y)=r^{2}+1.
Aqui r\geq 0 é a distância do ponto (x,y) à origem. Isso significa duas coisas importantes:
  • f depende somente da distância ao origem, não da direção. Dois pontos com a mesma distância à origem têm o mesmo valor de f.
  • Como r^{2} cresce quando r cresce, f é monotonicamente crescente em r: se r_{1}<r_{2} então r_{1}^{2}+1<r_{2}^{2}+1.
Essa observação permite transformar o problema geométrico (quais distâncias são permitidas por A?) em determinar os menores e maiores valores possíveis de r dentro de A.

Passo 3

Identificar o menor valor possível de r em A.
O menor valor de r em qualquer conjunto que contenha a origem é r=0. Verificamos se a origem pertence a A:
  • Para (0,0) tem-se 0^{2}+0^{2}=0\leq 1, logo a condição x^{2}+y^{2}\leq 1 é satisfeita.
  • Para (0,0) também y=0 e |x|=0, portanto y\geq |x| é satisfeita (igualdade).
Portanto (0,0)\in A e o menor r possível em A é
r_{\min}=0.

Passo 4

Calcular o valor mínimo de f a partir de r_{\min}.
Como f=r^{2}+1, para r=0 temos
f(0,0)=0^{2}+1=1.
Assim o valor mínimo de f em A é 1, e ocorre no ponto (0,0).

Passo 5

Identificar o maior valor possível de r em A.
Pelo enunciado temos sempre x^{2}+y^{2}\leq 1 para pontos de A. Isso significa que todos os pontos de A têm distância r\leq 1. Logo
r_{\max}\leq 1.
Para obter o máximo de f devemos verificar se existem pontos de A com r=1 (ou seja, pontos do círculo unitário que também satisfazem y\geq |x|). Se houverem, então r_{\max}=1 e o máximo de f será 1^{2}+1=2.

Passo 6

Caracterizar os pontos do círculo unitário que pertencem a A.
Pontos do círculo unitário são aqueles com
x^{2}+y^{2}=1.
Entre eles, precisamos dos que satisfazem y\geq |x|. Uma forma prática de descrever o arco é usar parametrização trigonométrica:
x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta,
com \theta\in[0,\pi] cobrindo a semicircunferência superior (porque y\geq 0 é necessário para y\geq |x|). A condição y\geq |x| vira
\sin\theta \geq |\cos\theta|.
Vamos resolver essa desigualdade para \theta\in[0,\pi].
Caso 1: \cos\theta\geq 0 (isto é \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]). Então |\cos\theta|=\cos\theta e a condição é
\sin\theta \geq \cos\theta
que equivale a
\tan\theta \geq 1,
portanto \theta \geq \tfrac{\pi}{4}. Combinando com o intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] obtemos \theta\in[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}].
Caso 2: \cos\theta\leq 0 (isto é \theta\in[\tfrac{\pi}{2},\pi]). Então |\cos\theta|=-\cos\theta e a condição é
\sin\theta \geq -\cos\theta,
ou seja
\sin\theta + \cos\theta \geq 0.
Note que \sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\!\big(\theta+\tfrac{\pi}{4}\big). Para \theta\in[\tfrac{\pi}{2},\pi] essa expressão é não negativa enquanto \theta+\tfrac{\pi}{4}\leq \tfrac{3\pi}{4}, isto é \theta\leq \tfrac{3\pi}{4}. Assim neste caso obtemos \theta\in[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4}].
Juntando os dois casos, o conjunto de \theta que satisfaz é
\theta\in\Big[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\Big].
Portanto os pontos do círculo unitário que pertencem a A formam o arco parametrizado por
\{(\cos\theta,\sin\theta)\mid \theta\in[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}]\}.
Em particular os extremos do arco (os vértices) são para \theta=\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{3\pi}{4}, que correspondem aos pontos
\Big(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\quad\text{e}\quad\Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big).

Passo 7

Concluir o valor máximo de f e onde ele ocorre.
Como existem pontos de A com r=1 (o arco descrito no passo anterior), segue que
r_{\max}=1,
e, por f=r^{2}+1,
f_{\max}=1^{2}+1=2.
Esse valor 2 é atingido por todos os pontos do arco do círculo unitário com \theta\in[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}], ou seja por todos os pontos (x,y) tais que
x^{2}+y^{2}=1\quad\text{e}\quad y\geq |x|.

Resposta

Mínimo: f_{\min}=1 em (0,0).
Máximo: f_{\max}=2 em todos os pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}=1 e y\geq |x|, isto é no arco \{(\cos\theta,\sin\theta)\mid \theta\in[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}]\} (entre (\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}) e (-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2})).

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