Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função
:
em que
e
e
Passo 1
O enunciado dá as informações abaixo:
- A função é
definida por . - O conjunto
é
As perguntas que devemos responder são:
- Encontrar o valor mínimo de
em e os pontos de onde esse mínimo ocorre. - Encontrar o valor máximo de
em e os pontos de onde esse máximo ocorre.
Passo 2
Observação útil sobre a função (uma ideia-chave que facilita tudo): defina
pela
Então a função pode ser escrita em termos de
:
Aqui
é a distância do ponto
à origem. Isso significa duas coisas importantes:
-
depende somente da distância ao origem, não da direção. Dois pontos com a mesma distância à origem têm o mesmo valor de . - Como
cresce quando cresce, é monotonicamente crescente em : se então .
Essa observação permite transformar o problema geométrico (quais distâncias são permitidas por
?) em determinar os menores e maiores valores possíveis de
dentro de
.
Passo 3
Identificar o menor valor possível de
em
.
O menor valor de
em qualquer conjunto que contenha a origem é
. Verificamos se a origem pertence a
:
- Para
tem-se , logo a condição é satisfeita. - Para
também e , portanto é satisfeita (igualdade).
Portanto
e o menor
possível em
é
Passo 4
Calcular o valor mínimo de
a partir de
.
Como
, para
temos
Assim o valor mínimo de
em
é
, e ocorre no ponto
.
Passo 5
Identificar o maior valor possível de
em
.
Pelo enunciado temos sempre
para pontos de
. Isso significa que todos os pontos de
têm distância
. Logo
Para obter o máximo de
devemos verificar se existem pontos de
com
(ou seja, pontos do círculo unitário que também satisfazem
). Se houverem, então
e o máximo de
será
.
Passo 6
Caracterizar os pontos do círculo unitário que pertencem a
.
Pontos do círculo unitário são aqueles com
Entre eles, precisamos dos que satisfazem
. Uma forma prática de descrever o arco é usar parametrização trigonométrica:
com
cobrindo a semicircunferência superior (porque
é necessário para
). A condição
vira
Vamos resolver essa desigualdade para
.
Caso 1:
(isto é
). Então
e a condição é
que equivale a
portanto
. Combinando com o intervalo
obtemos
.
Caso 2:
(isto é
). Então
e a condição é
ou seja
Note que
. Para
essa expressão é não negativa enquanto
, isto é
. Assim neste caso obtemos
.
Juntando os dois casos, o conjunto de
que satisfaz é
Portanto os pontos do círculo unitário que pertencem a
formam o arco parametrizado por
Em particular os extremos do arco (os vértices) são para
e
, que correspondem aos pontos
Passo 7
Concluir o valor máximo de
e onde ele ocorre.
Como existem pontos de
com
(o arco descrito no passo anterior), segue que
e, por
,
Esse valor
é atingido por todos os pontos do arco do círculo unitário com
, ou seja por todos os pontos
tais que
Resposta
Mínimo:
em
.
Máximo: em todos os pontos
com
e
, isto é no arco
(entre
e
).
Máximo: