Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função f : A \rightarrow \mathbb{R} em que
f(x, y)=1+x y-2 x+y e A é conjunto compacto delimitado pelo triângulo de vértices (-2,1),(-2,5) e (2,1)

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon A\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=1+xy-2x+y
e o conjunto compacto A é o triângulo com vértices (-2,1), (-2,5) e (2,1).
O que pede o problema:
  • Encontrar o valor máximo de f em A e os pontos onde esse máximo ocorre.
  • Encontrar o valor mínimo de f em A e os pontos onde esse mínimo ocorre.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vértices do triângulo são \,(-2,1),\;(-2,5),\;(2,1)\,.
  • A é compacto (fechado e limitado), logo qualquer função contínua em A atinge máximo e mínimo.
  • A função f é polinomial (logo contínua) em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática curta): para achar extremos globais numa região compacta como um triângulo devemos verificar:
  1. Pontos críticos no interior de A (onde o gradiente é nulo).
  2. Extremos possíveis nas fronteiras: cada lado do triângulo é um segmento de reta — reduzimos f a uma função de uma variável em cada segmento, procuramos extremos internos do segmento e avaliamos também os endpoints (vértices).
    No final comparamos todos os valores obtidos e escolhemos o maior (máximo global) e o menor (mínimo global).

Passo 3

Encontrar pontos críticos no interior: calcular as derivadas parciais.
A derivada parcial de f\) em relação a \(x\) é \[\frac{\partial f}{\partial x}=y-2.
A derivada parcial de f em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}=x+1.
Pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} y-2=0,\\[4pt] x+1=0. \end{cases}
Daqui obtemos o ponto crítico (, (x,y)=(-1,2)].
Agora verificar se (-1,2) pertence a A. Escrevendo a reta que une (-2,5) a (2,1): seu declive é
m=\frac{1-5}{2-(-2)}=-1,
e uma equação da reta é y=-x+3. O triângulo A consiste dos pontos com x\ge -2, y\ge 1 e y\le -x+3. Para (-1,2) temos x=-1\ge -2, y=2\ge1 e 2\le -(-1)+3=4. Logo (-1,2) está dentro de A.
Avaliar f no ponto crítico:
f(-1,2)=1+(-1)\cdot 2 -2\cdot(-1)+2 = 1-2+2+2 = 3.]

Passo 4

Classificação rápida do ponto crítico (importante para entender se é máximo/minimo local):
Calcular as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=1.
A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
cujo determinante é \det H = -1 <0. Portanto o ponto crítico é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local). Conclusão: (-1,2) não é candidato a extremo global; mantemos o valor f(-1,2)=3 para comparação com os valores encontrados na fronteira.]

Passo 5

Analisar o primeiro lado: segmento entre (-2,1) e (-2,5).
Nesse lado temos x=-2 e y\in[1,5]. Substituindo em f:
g_1(y)=f(-2,y)=1+(-2)y-2(-2)+y = 5-y.
Isto é uma função afim de y com derivada g_1'(y)=-1, portanto é estritamente decrescente em [1,5].
  • Máximo em y=1: g_1(1)=5-1=4 no ponto (-2,1).
  • Mínimo em y=5: g_1(5)=5-5=0 no ponto (-2,5).

Passo 6

Analisar o segundo lado: segmento entre (-2,1) e (2,1).
Nesse lado temos y=1 e x\in[-2,2]. Substituindo:
g_2(x)=f(x,1)=1+x\cdot 1 -2x +1 = 2-x.
Derivada g_2'(x)=-1, função decrescente.
  • Máximo em x=-2: g_2(-2)=2-(-2)=4 no ponto (-2,1) (mesmo vértice já visto).
  • Mínimo em x=2: g_2(2)=2-2=0 no ponto (2,1).

Passo 7

Analisar o terceiro lado (hipotenusa): segmento entre (-2,5) e (2,1).
A reta que contém esse lado é y=-x+3. Substituir na f para obter função de uma variável (usar x como parâmetro):
g_3(x)=f(x,-x+3)=1 + x(-x+3) -2x +(-x+3).
Simplificando:
g_3(x)=1 -x^2 +3x -2x -x +3 = 4 - x^2.
Nesse lado x varia em [-2,2]. A derivada é g_3'(x)=-2x.
  • Pontos críticos internos satisfazem -2x=0\Rightarrow x=0. Este ponto está em [-2,2] e corresponde a y=-0+3=3, ou seja ao ponto (0,3). O valor é
g_3(0)=4-0^2=4.
  • Nos endpoints x=\pm 2 obtemos g_3(\pm 2)=4-4=0, que correspondem aos vértices (-2,5) e (2,1).

Passo 8

Listar todos os candidatos (interior e fronteira) com seus valores de f:
  • ponto interior crítico (-1,2): f=3.
  • vértice (-2,1): obtido em lados 1 e 2, f=4.
  • vértice (-2,5): f=0.
  • vértice (2,1): f=0.
  • ponto interno ao lado 3: (0,3): f=4.
Comparando os valores: o maior valor encontrado é 4 (ocorre em (-2,1) e em (0,3)); o menor valor encontrado é 0 (ocorre em (-2,5) e em (2,1)). O ponto interior (-1,2) tinha valor 3, que fica entre esses extremos, como esperado já que é um ponto de sela.

Resposta

Máximo global: 4 em (-2,1) e em (0,3).
Mínimo global: 0 em (-2,5) e em (2,1).

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