Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função
:
em que
e
é conjunto compacto delimitado pelo triângulo de vértices
e
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e o conjunto compacto
é o triângulo com vértices
,
e
.
O que pede o problema:
- Encontrar o valor máximo de
em e os pontos onde esse máximo ocorre. - Encontrar o valor mínimo de
em e os pontos onde esse mínimo ocorre.
Informações relevantes fornecidas:
- Os vértices do triângulo são
. -
é compacto (fechado e limitado), logo qualquer função contínua em atinge máximo e mínimo. - A função
é polinomial (logo contínua) em .
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática curta): para achar extremos globais numa região compacta como um triângulo devemos verificar:
- Pontos críticos no interior de
(onde o gradiente é nulo). - Extremos possíveis nas fronteiras: cada lado do triângulo é um segmento de reta — reduzimos
a uma função de uma variável em cada segmento, procuramos extremos internos do segmento e avaliamos também os endpoints (vértices).
No final comparamos todos os valores obtidos e escolhemos o maior (máximo global) e o menor (mínimo global).
Passo 3
Encontrar pontos críticos no interior: calcular as derivadas parciais.
A derivada parcial de
A derivada parcial de
em relação a
é
Pontos críticos satisfazem o sistema
Daqui obtemos o ponto crítico (, (x,y)=(-1,2)].
Agora verificar se
pertence a
. Escrevendo a reta que une
a
: seu declive é
e uma equação da reta é
. O triângulo
consiste dos pontos com
,
e
. Para
temos
,
e
. Logo
está dentro de
.
Avaliar
no ponto crítico:
Passo 4
Classificação rápida do ponto crítico (importante para entender se é máximo/minimo local):
Calcular as segundas derivadas:
Calcular as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é
cujo determinante é
. Portanto o ponto crítico é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local). Conclusão:
não é candidato a extremo global; mantemos o valor
para comparação com os valores encontrados na fronteira.]
Passo 5
Analisar o primeiro lado: segmento entre
e
.
Nesse lado temos e
. Substituindo em
:
Nesse lado temos
Isto é uma função afim de
com derivada
, portanto é estritamente decrescente em
.
- Máximo em
: no ponto . - Mínimo em
: no ponto .
Passo 6
Analisar o segundo lado: segmento entre
e
.
Nesse lado temos e
. Substituindo:
Nesse lado temos
Derivada
, função decrescente.
- Máximo em
: no ponto (mesmo vértice já visto). - Mínimo em
: no ponto .
Passo 7
Analisar o terceiro lado (hipotenusa): segmento entre
e
.
A reta que contém esse lado é . Substituir na
para obter função de uma variável (usar
como parâmetro):
A reta que contém esse lado é
Simplificando:
Nesse lado
varia em
. A derivada é
.
- Pontos críticos internos satisfazem
. Este ponto está em e corresponde a , ou seja ao ponto . O valor é
- Nos endpoints
obtemos , que correspondem aos vértices e .
Passo 8
Listar todos os candidatos (interior e fronteira) com seus valores de
:
- ponto interior crítico
: . - vértice
: obtido em lados 1 e 2, . - vértice
: . - vértice
: . - ponto interno ao lado 3:
: .
Comparando os valores: o maior valor encontrado é
(ocorre em
e em
); o menor valor encontrado é
(ocorre em
e em
). O ponto interior
tinha valor
, que fica entre esses extremos, como esperado já que é um ponto de sela.
Resposta
Máximo global:
em
e em
.
Mínimo global:
em
e em
.