Encontre os valores de x onde f assume máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo “Método do Intervalo Fechado”.
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1, \quad[-\frac{1}{2}, 4]

Passo 1

O enunciado pede os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+1
no intervalo fechado \left[-\frac{1}{2},4\right] usando o método do intervalo fechado. Como f é um polinômio, ela é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}, garantindo a existência de extremos absolutos nesse intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f para encontrar pontos críticos. Usando as regras de derivação para potências, obtemos
f'(x)=3x^{2}-6x.

Passo 3

Encontramos as raízes de f'(x)=0:
3x^{2}-6x=3x(x-2)=0
logo os pontos críticos são x=0 e x=2. Ambos pertencem a \left[-\frac{1}{2},4\right].

Passo 4

Avaliamo-s f nos pontos cr’iticos e nos extremos do intervalo.
f\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}-3\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+1 =-\tfrac{1}{8}-\tfrac{3}{4}+1=\tfrac{1}{8},
f(0)=1,
f(2)=2^{3}-3\cdot2^{2}+1=8-12+1=-3,
f(4)=4^{3}-3\cdot4^{2}+1=64-48+1=17.

Passo 5

Comparando os valores obtidos, vemos que o menor valor é -3 em x=2 e o maior valor é 17 em x=4.

Resposta

A função atinge o mínimo absoluto em x=2 com f(2)=-3 e o máximo absoluto em x=4 com f(4)=17.

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