Encontre os valores de x onde f assume máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo “Método do Intervalo Fechado”.
f(x)=x^{2} e^{x} \quad[-3,1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função
f(x)=x^{2}e^{x}
no intervalo fechado [-3,1], usando o método do intervalo fechado. Para isso vamos:
  1. Calcular f'(x) (usando regra do produto e derivada de e^{x}).
  2. Encontrar os pontos críticos em (-3,1) onde f'(x)=0.
  3. Avaliar f nesses pontos críticos e nos extremos x=-3 e x=1.
  4. Comparar os valores obtidos para decidir onde ocorre o máximo absoluto e onde ocorre o mínimo absoluto.

Passo 2

Derivando por regra do produto:
f'(x) = \bigl(x^{2}\bigr)'e^{x} + x^{2}\bigl(e^{x}\bigr)' = 2x\,e^{x} + x^{2}e^{x} = e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr) = e^{x}\,x\,(x+2).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad e^{x}\,x\,(x+2)=0.
Como e^{x}>0 para todo x, temos
x=0 \quad\text{ou}\quad x=-2.
Ambos pertencem ao intervalo [-3,1].

Passo 4

Agora avaliamos f em x=-3, x=-2, x=0 e x=1:
f(-3)=(-3)^{2}e^{-3}=9e^{-3}.
f(-2)=4e^{-2}.
f(0)=0^{2}e^{0}=0.
f(1)=1^{2}e^{1}=e.

Passo 5

Comparamos os valores:
  • f(-3)=9e^{-3}\approx0{,}45
  • f(-2)=4e^{-2}\approx0{,}54
  • f(0)=0
  • f(1)=e\approx2{,}72
O menor valor é f(0)=0 e o maior é f(1)=e.

Resposta

O mínimo absoluto ocorre em x=0 com f(0)=0.
O máximo absoluto ocorre em x=1 com f(1)=e.

Exercícios relacionados