Encontre os valores de x onde f assume máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo “Método do Intervalo Fechado”.
f(x)=x-2 \operatorname{sen}(x) \quad[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo absoluto e o valor do mínimo absoluto de
f(x)=x-2\operatorname{sen}(x)
no intervalo [0,2\pi] usando o Método do Intervalo Fechado. Esse método exige:
  1. Calcular f'(x) e achar pontos críticos em (0,2\pi) onde f'(x)=0.
  2. Avaliar f nos pontos críticos e nas extremidades x=0 e x=2\pi.
  3. Comparar esses valores para determinar máximos e mínimos absolutos.

Passo 2

Calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-2\operatorname{sen}(x)\bigr)=1-2\cos(x).
Para pontos críticos, resolvemos
1-2\cos(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos(x)=\tfrac12.
No intervalo [0,2\pi], isso ocorre em
\displaystyle x=\frac{\pi}{3} e \displaystyle x=\frac{5\pi}{3}.

Passo 3

Agora avaliamos f em x=0,\;\frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3},\;2\pi:
f(0)=0-2\operatorname{sen}(0)=0,
f\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\tfrac{\pi}{3}-2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\tfrac{\pi}{3}-2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =\tfrac{\pi}{3}-\sqrt3,
f\Bigl(\tfrac{5\pi}{3}\Bigr) =\tfrac{5\pi}{3}-2\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) =\tfrac{5\pi}{3}-2\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =\tfrac{5\pi}{3}+\sqrt3,
f(2\pi)=2\pi-2\operatorname{sen}(2\pi)=2\pi.

Passo 4

Comparamos os valores:
\tfrac{\pi}{3}-\sqrt3\approx -0,685,\quad 0,\quad 2\pi\approx6,283,\quad \tfrac{5\pi}{3}+\sqrt3\approx6,968.
O menor é \tfrac{\pi}{3}-\sqrt3 e o maior é \tfrac{5\pi}{3}+\sqrt3.

Resposta

O valor mínimo absoluto de f em [0,2\pi] ocorre em x=\tfrac{\pi}{3} e vale
f\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\pi}{3}-\sqrt3.
O valor máximo absoluto ocorre em x=\tfrac{5\pi}{3} e vale
f\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr)=\tfrac{5\pi}{3}+\sqrt3.

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