Encontre os valores de x onde f assume máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo “Método do Intervalo Fechado”.
f(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos (x) \quad[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x)
no intervalo fechado [0,2\pi]. Queremos encontrar o máximo e o mínimo absolutos usando o método do intervalo fechado, que consiste em:
  1. calcular a derivada f'(x),
  2. determinar os pontos críticos em (0,2\pi) resolvendo f'(x)=0,
  3. avaliar f nesses pontos críticos e nos extremos x=0 e x=2\pi,
  4. comparar esses valores para identificar o maior (máximo absoluto) e o menor (mínimo absoluto).

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr) =\cos(x)-\operatorname{sen}(x).
Para achar os pontos críticos, resolvemos
\cos(x)-\operatorname{sen}(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(x)=\cos(x) \quad\Longrightarrow\quad \tan(x)=1.
As soluções gerais são x=\frac{\pi}{4}+k\pi. No intervalo [0,2\pi] temos
x=\frac{\pi}{4} \quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{4}.

Passo 3

Avaliamos f nos pontos críticos:
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} =\sqrt{2},
f\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr) =\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)+\cos\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr) =-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} =-\sqrt{2}.

Passo 4

Avaliamos f nos extremos do intervalo:
f(0)=\operatorname{sen}(0)+\cos(0)=0+1=1,
f(2\pi)=\operatorname{sen}(2\pi)+\cos(2\pi)=0+1=1.

Passo 5

Comparando os valores obtidos:
f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sqrt{2}\approx1{,}414, \quad f(0)=f(2\pi)=1, \quad f\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=-\sqrt{2}\approx-1{,}414.
Desses, o maior é \sqrt{2} em x=\frac{\pi}{4} e o menor é -\sqrt{2} em x=\frac{5\pi}{4}.

Resposta

Máximo absoluto em x=\frac{\pi}{4}, com valor f\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sqrt{2}.
Mínimo absoluto em x=\frac{5\pi}{4}, com valor f\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr)=-\sqrt{2}.

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