Encontre os valores de Z_{c}, sendo Z \sim N(0,1), tais que:
P\left(-1,80<Z \leq Z_{c}\right)=0,7620;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de Z_{c} tal que a probabilidade
P\left(-1,80<Z\leq Z_{c}\right)=0,7620
onde Z segue a distribuição normal padrão, isto é Z\sim N(0,1).
Informações dadas: Z\sim N(0,1), o ponto inferior do intervalo é -1,80 e a probabilidade do intervalo é 0,7620. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Vamos traduzir a probabilidade em termos da função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão. Denotamos por \Phi(x) a CDF:
\Phi(x)=P(Z\leq x).
A probabilidade do enunciado pode ser escrita como diferença de CDFs:
P\left(-1,80<Z\leq Z_{c}\right)=\Phi(Z_{c})-\Phi(-1,80).
Portanto a equação que precisamos resolver é
\Phi(Z_{c})-\Phi(-1,80)=0,7620.

Passo 3

Precisamos do valor de \Phi(-1,80). Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para }a>0,
porque P(Z\leq -a)=P(Z\geq a)=1-P(Z\leq a). Assim
\Phi(-1,80)=1-\Phi(1,80).
Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para \Phi(1,80). Do valor da tabela temos \Phi(1,80)=0,9641. (Aqui peguei o valor da tabela padrão da normal.)

Passo 4

Calculemos \Phi(-1,80) usando o valor da tabela:
\Phi(-1,80)=1-\Phi(1,80)=1-0,9641=0,0359.

Passo 5

Voltando à equação do Passo 2, obtemos
\Phi(Z_{c})=0,7620+\Phi(-1,80)=0,7620+0,0359=0,7979.
Portanto precisamos achar Z_{c} tal que
\Phi(Z_{c})=0,7979.

Passo 6

Agora invertemos a CDF: Z_{c}=\Phi^{-1}(0,7979). Para encontrar esse quantil usamos a tabela inversa da normal (procuramos na tabela o valor de probabilidade mais próximo de 0,7979). Na tabela:
\Phi(0,83)=0,7967,\qquad \Phi(0,84)=0,7995.
O valor 0,7979 está entre esses dois, então faremos uma interpolação linear entre z=0,83 e z=0,84.

Passo 7

Interpolação linear (passo a passo):
\Delta P=\Phi(0,84)-\Phi(0,83)=0,7995-0,7967=0,0028.
A diferença entre a probabilidade desejada e \Phi(0,83) é
\delta=0,7979-0,7967=0,0012.
A fração do intervalo 0,01 que precisamos avançar é
\frac{\delta}{\Delta P}=\frac{0,0012}{0,0028}\approx 0,428571.
Então o acréscimo em z é aproximadamente 0,01\times 0,428571\approx 0,0042857. Assim
Z_{c}\approx 0,83+0,0042857\approx 0,8343.

Passo 8

Arredondando para três casas decimais (formato comum em tabelas de z), obtemos
Z_{c}\approx 0,834.
Se preferir mais precisão, Z_{c}\approx 0,8343.

Resposta

Z_{c}\approx 0,834

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