Seja um experimento aleatório e os eventos
e
associados, tais que:
-
;
-
;
-
.
Calcule as seguintes probabilidades:
.
Passo 1
O enunciado dá três informações sobre probabilidades e pede uma única coisa. Vou listar certinho o que foi dado e o que é pedido, sem começar a resolver ainda.
Dados:
.
.
.
Pergunta:
Calcular .
Calcular
Passo 2
Primeiro vamos aprender a fórmula que liga
,
,
e
. A fórmula é a seguinte:
Essa fórmula evita contarmos duas vezes a interseção
: quando somamos
e
a região comum fica contabilizada duas vezes, por isso subtraímos
uma vez.
Passo 3
Explicando de forma bem visual e concreta (tipo Venn): o conjunto
é formado pela parte só de
, pela parte só de
e pela parte comum
. A soma
soma essas três partes, mas a parte comum aparece duas vezes. Logo precisamos tirar uma cópia da interseção, daí a subtração de
. Isso é o princípio da inclusão-exclusão para dois eventos.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula usando os números do enunciado. Substituindo:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo a soma e subtração de frações sem calculadora. Primeiro escolhemos um denominador comum. Os denominadores são
,
e
. Um múltiplo comum é
. Convertendo cada fração para denominador
:
Passo 6
Agora somamos e subtraímos as frações com mesmo denominador:
Portanto o resultado numérico é
.
Passo 7
Verificação rápida:
está entre
e
, então é uma probabilidade válida. Como curiosidade, se
e
fossem independentes precisaríamos ter
, mas aqui
, então
e
não são independentes — só um comentário para fixar a ideia.