Seja um experimento aleatório e os eventos A e B associados, tais que:
  • \mathrm{P}[\mathrm{A}]=\frac{1}{2};
  • \mathrm{P}[\mathrm{B}]=1 / 3;
  • P[A \cap B]=1 / 4.
Calcule as seguintes probabilidades:
P[A \cup B].

Passo 1

O enunciado dá três informações sobre probabilidades e pede uma única coisa. Vou listar certinho o que foi dado e o que é pedido, sem começar a resolver ainda.
Dados:
\mathrm{P}[A]=\frac{1}{2}.
\mathrm{P}[B]=\frac{1}{3}.
\mathrm{P}[A\cap B]=\frac{1}{4}.
Pergunta:
Calcular \mathrm{P}[A\cup B].

Passo 2

Primeiro vamos aprender a fórmula que liga \mathrm{P}[A\cup B], \mathrm{P}[A], \mathrm{P}[B] e \mathrm{P}[A\cap B]. A fórmula é a seguinte:
\mathrm{P}[A\cup B]=\mathrm{P}[A]+\mathrm{P}[B]-\mathrm{P}[A\cap B].
Essa fórmula evita contarmos duas vezes a interseção A\cap B: quando somamos \mathrm{P}[A] e \mathrm{P}[B] a região comum fica contabilizada duas vezes, por isso subtraímos \mathrm{P}[A\cap B] uma vez.

Passo 3

Explicando de forma bem visual e concreta (tipo Venn): o conjunto A\cup B é formado pela parte só de A, pela parte só de B e pela parte comum A\cap B. A soma \mathrm{P}[A]+\mathrm{P}[B] soma essas três partes, mas a parte comum aparece duas vezes. Logo precisamos tirar uma cópia da interseção, daí a subtração de \mathrm{P}[A\cap B]. Isso é o princípio da inclusão-exclusão para dois eventos.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula usando os números do enunciado. Substituindo:
\mathrm{P}[A\cup B]=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}.

Passo 5

Vamos calcular passo a passo a soma e subtração de frações sem calculadora. Primeiro escolhemos um denominador comum. Os denominadores são 2, 3 e 4. Um múltiplo comum é 12. Convertendo cada fração para denominador 12:
\frac{1}{2}=\frac{6}{12},\quad \frac{1}{3}=\frac{4}{12},\quad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}.

Passo 6

Agora somamos e subtraímos as frações com mesmo denominador:
\frac{6}{12}+\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{6+4-3}{12}=\frac{7}{12}.
Portanto o resultado numérico é \frac{7}{12}.

Passo 7

Verificação rápida: \frac{7}{12} está entre 0 e 1, então é uma probabilidade válida. Como curiosidade, se A e B fossem independentes precisaríamos ter \mathrm{P}[A\cap B]=\mathrm{P}[A]\mathrm{P}[B]=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}, mas aqui \mathrm{P}[A\cap B]=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{6}, então A e B não são independentes — só um comentário para fixar a ideia.

Resposta

\frac{7}{12}

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