Seja um experimento aleatório e os eventos A e B associados, tais que:
  • \mathrm{P}[\mathrm{A}]=\frac{1}{2};
  • \mathrm{P}[\mathrm{B}]=1 / 3;
  • P[A \cap B]=1 / 4.
Calcule as seguintes probabilidades:
\mathrm{P}\left[\mathrm{B}^{\mathrm{C}}\right];

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\mathrm{P}[A]=\frac{1}{2}, \mathrm{P}[B]=\frac{1}{3} e \mathrm{P}[A\cap B]=\frac{1}{4}.
A pergunta que devemos responder é: calcular \mathrm{P}\left[B^{C}\right] (a probabilidade do complemento de B, isto é, de o evento B não ocorrer).

Passo 2

Vamos entender o que é o complemento de um evento. O complemento de B, escrito B^{C}, é o conjunto de todos os resultados do espaço amostral em que B não acontece. Por definição temos duas propriedades importantes:
B \cup B^{C} = \Omega
e
B \cap B^{C} = \varnothing,
onde \Omega é o espaço amostral e \varnothing é o conjunto vazio.

Passo 3

Daquelas propriedades segue que as probabilidades somam 1:
\mathrm{P}[B] + \mathrm{P}[B^{C}] = \mathrm{P}[\Omega] = 1.
Essa é a fórmula fundamental do complemento: para qualquer evento E,
\mathrm{P}[E^{C}] = 1 - \mathrm{P}[E].

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com \mathrm{P}[B]=\frac{1}{3}, temos
\mathrm{P}\left[B^{C}\right] = 1 - \frac{1}{3}.
Fazendo a conta com frações: 1 = \frac{3}{3}, então
\mathrm{P}\left[B^{C}\right] = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Resposta

\frac{2}{3}

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