Encontre os valores de
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de
.
Passo 1
Ok, vamos lá! Você tem uma série infinita:
. O que precisamos fazer aqui é descobrir para quais valores de
essa série converge, ou seja, para quais valores ela soma a um número finito. Além disso, depois de encontrar esses valores de
, vamos calcular a soma da série para esses valores específicos. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Série Geométrica, que nos ajuda a determinar a convergência de séries que têm uma forma específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da nossa série. Observe que ela pode ser reescrita como:
Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma geral:
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos.
Passo 3
Para que uma série geométrica
convirja, a razão
deve satisfazer
. Caso contrário, a série diverge, ou seja, não soma a um número finito.
Passo 4
No nosso caso, a série começa em
, mas podemos ajustar isso para usar o critério. A razão
da nossa série é
. Então, para a série convergir, precisamos que:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos resolver a desigualdade:
Dividindo ambos os lados por 4:
Isso significa que a distância entre
e 5 deve ser menor que
.
Passo 6
Resolvendo a desigualdade $ |x - 5| < \frac{1}{4} $, temos:
Adicionando 5 em todos os lados:
Ou seja:
Portanto, a série converge para valores de
entre 4.75 e 5.25.
Passo 7
Agora que sabemos para quais valores de
a série converge, vamos calcular a soma da série. A soma
de uma série geométrica
é dada por:
No nosso caso, como a série começa em
, ajustamos a fórmula:
Aqui,
(já que o primeiro termo com
é
) e
.
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula da soma:
Simplificando o denominador:
Passo 9
Podemos simplificar ainda mais a expressão:
Multiplicando o numerador e o denominador por -1 para simplificar:
Resposta
Os valores de
para os quais a série converge são
e, para esses valores, a soma da série é: