Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
sumn=1^infty(-4)^n(x-5)^n

Passo 1

Ok, vamos lá! Você tem uma série infinita: sumn=1^infty(-4)^n(x-5)^n. O que precisamos fazer aqui é descobrir para quais valores de x essa série converge, ou seja, para quais valores ela soma a um número finito. Além disso, depois de encontrar esses valores de x, vamos calcular a soma da série para esses valores específicos. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Série Geométrica, que nos ajuda a determinar a convergência de séries que têm uma forma específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da nossa série. Observe que ela pode ser reescrita como:
sumn=1^infty [(-4)(x-5)]^n
Isso se parece muito com uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos.

Passo 3

Para que uma série geométrica sumn=0^infty ar^n convirja, a razão r deve satisfazer |r| < 1. Caso contrário, a série diverge, ou seja, não soma a um número finito.

Passo 4

No nosso caso, a série começa em n=1, mas podemos ajustar isso para usar o critério. A razão r da nossa série é -4(x-5). Então, para a série convergir, precisamos que:
| -4(x - 5) | < 1
Isso simplifica para:
4|x - 5| < 1

Passo 5

Agora, vamos resolver a desigualdade:
4|x - 5| < 1
Dividindo ambos os lados por 4:
|x - 5| < 14
Isso significa que a distância entre x e 5 deve ser menor que 14.

Passo 6

Resolvendo a desigualdade $ |x - 5| < \frac{1}{4} $, temos:
|x - 5| < 14
Adicionando 5 em todos os lados:
- 14 < x - 5 < 14
Ou seja:
5 - 14 < x < 5 + 14
Portanto, a série converge para valores de 4.75 < x < 5.25 entre 4.75 e 5.25.

Passo 7

Agora que sabemos para quais valores de x a série converge, vamos calcular a soma da série. A soma S de uma série geométrica sumn=0^infty ar^n é dada por:
S = a1 - r
No nosso caso, como a série começa em n=1, ajustamos a fórmula:
S = ar1 - r
Aqui, a = 1 (já que o primeiro termo com n=1 é (-4)(x-5)) e r = -4(x-5).

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula da soma:
S = (-4)(x - 5)1 - (-4)(x - 5)
Simplificando o denominador:
S = -4(x - 5)1 + 4(x - 5)

Passo 9

Podemos simplificar ainda mais a expressão:
S = -4(x - 5)1 + 4x - 20 = -4(x - 5)4x - 19
Multiplicando o numerador e o denominador por -1 para simplificar:
S = 4(x - 5)19 - 4x

Resposta

Os valores de x para os quais a série converge são 4.75 < x < 5.25 e, para esses valores, a soma da série é:
S = 4(x - 5)19 - 4x

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