Calcule a transformada de Fourier f(omega)=Ff(x) das funções abaixo:
f(x)=3 u(x)-3 u(x-15), para x in R ( u é a função de Heaviside).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a transformada de Fourier da função $ f(x) = 3u(x) - 3u(x-15) $, onde $ u $ é a função de Heaviside. Isso está dentro do conteúdo de Transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função de Heaviside se comporta e como aplicar as propriedades da transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = 3u(x) - 3u(x-15) $. A função de Heaviside $ u(x) $ é definida como:
f(x) = 3u(x) - 3u(x-15)
Então, $ 3u(x) $ é uma função que vale 0 para $ x < 0 $ e 3 para $ x \geq 0 $. Da mesma forma, $ -3u(x-15) $ vale 0 para $ x < 15 $ e -3 para $ x \geq 15 $. Assim, $ f(x) $ é uma função que vale 0 para $ x < 0 $, 3 para $ 0 \leq x < 15 $ e 0 para $ x \geq 15 $.

Passo 3

Agora que entendemos a forma da função $ f(x) $, vamos calcular sua transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ f(x) $ é dada por:
f(x)
Onde $ \omega $ é a frequência angular e $ j $ é a unidade imaginária.

Passo 4

Substituindo $ f(x) = 3u(x) - 3u(x-15) $ na integral, temos:
f(x) = 3u(x) - 3u(x-15)
Podemos dividir essa integral em duas partes:
Ff(x) = integral-infty^+infty [3u(x) - 3u(x-15)] e^-jomega x dx

Passo 5

Sabemos que $ u(x) $ é zero para $ x < 0 $ e 1 para $ x \geq 0 $, então o primeiro termo se torna:
u(x)
Da mesma forma, $ u(x-15) $ é zero para $ x < 15 $ e 1 para $ x \geq 15 $, então o segundo termo se transforma em:
x < 0

Passo 6

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais. A integral de $ e^{-j\omega x} $ é:
e^-jomega x
Aplicando os limites de integração:
Para o primeiro termo:
integral e^-jomega x dx = e^-jomega x-jomega + C
Para o segundo termo:
3 [ e^-jomega x-jomega ]0^+infty = 3 ( 0 - 1-jomega ) = 3jomega

Passo 7

Juntando os dois resultados, temos:
Ff(x) = 3jomega + 3e^-j15omegajomega = 3(1 - e^-j15omega)jomega
Podemos simplificar isso usando a propriedade de que $ \frac{1}{j} = -j $:
1j = -j

Resposta

A transformada de Fourier da função $ f(x) = 3u(x) - 3u(x-15) $ é:
f(x) = 3u(x) - 3u(x-15)

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