Calcule a transformada de Fourier
das funções abaixo:
, para
(
é a função de Heaviside).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a transformada de Fourier da função $ f(x) = 3u(x) - 3u(x-15) $, onde $ u $ é a função de Heaviside. Isso está dentro do conteúdo de Transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função de Heaviside se comporta e como aplicar as propriedades da transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = 3u(x) - 3u(x-15) $. A função de Heaviside $ u(x) $ é definida como:
Então, $ 3u(x) $ é uma função que vale 0 para $ x < 0 $ e 3 para $ x \geq 0 $. Da mesma forma, $ -3u(x-15) $ vale 0 para $ x < 15 $ e -3 para $ x \geq 15 $. Assim, $ f(x) $ é uma função que vale 0 para $ x < 0 $, 3 para $ 0 \leq x < 15 $ e 0 para $ x \geq 15 $.
Passo 3
Agora que entendemos a forma da função $ f(x) $, vamos calcular sua transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ f(x) $ é dada por:
Onde $ \omega $ é a frequência angular e $ j $ é a unidade imaginária.
Passo 4
Substituindo $ f(x) = 3u(x) - 3u(x-15) $ na integral, temos:
Podemos dividir essa integral em duas partes:
Passo 5
Sabemos que $ u(x) $ é zero para $ x < 0 $ e 1 para $ x \geq 0 $, então o primeiro termo se torna:
Da mesma forma, $ u(x-15) $ é zero para $ x < 15 $ e 1 para $ x \geq 15 $, então o segundo termo se transforma em:
Passo 6
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais. A integral de $ e^{-j\omega x} $ é:
Aplicando os limites de integração:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Passo 7
Juntando os dois resultados, temos:
Podemos simplificar isso usando a propriedade de que $ \frac{1}{j} = -j $:
Resposta
A transformada de Fourier da função $ f(x) = 3u(x) - 3u(x-15) $ é: