Encontre os valores de x tais que a reta tangente ao gráfico de y=3 x-cos 2 x (a) é perpendicular a reta 2 x+4 y=5 e (b) nos quais ela é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de x onde a reta tangente ao gráfico de y=3x−cos2x (a) é perpendicular à reta 2x+4y=5 e (b) onde essa tangente é horizontal. O conteúdo aqui é derivada de funções e inclinação de reta. Vamos precisar: a derivada y’ para achar a inclinação da tangente, a inclinação da reta dada e o conceito de retas perpendiculares e retas horizontais.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y=3x−cos2x. Usamos que d/dx(3x)=3 e d/dx(cos2x)=−sin2x·2=−2sin2x. Como temos um menos na frente de cos2x, isso vira mais:
y' = 3 - ( -2sin2x ) = 3 + 2sin2x

Passo 3

Agora achamos a inclinação da reta 2x+4y=5. Isolando y:
4y = 5 - 2x implies y = -tfrac12 x + tfrac54
Logo, seu coeficiente angular é m=−1/2. Para que uma reta seja perpendicular a outra, o produto das inclinações deve ser −1, ou seja, m_tangente·m_dada=−1. Se m_dada=−1/2, então a inclinação perpendicular é m_perp=2.

Passo 4

Agora impomos y’=m_perp:
3 + 2sin2x = 2

Passo 5

Desse modo:
2sin2x = 2 - 3 = -1 implies sin2x = -tfrac12

Passo 6

As soluções gerais de sintheta = -tfrac12 são
theta = -tfracpi6 + 2pi k ou theta = pi + tfracpi6 + 2pi k = tfrac7pi6 + 2pi k,
onde theta = 2x. Dividindo por 2:
x = -tfracpi12 + pi k ou x = tfrac7pi12 + pi k,com kin Z.

Passo 7

Para a parte (b), tangente horizontal significa inclinação zero, ou seja y’=0. Então:
3 + 2sin2x = 0 implies sin2x = -tfrac32

Passo 8

Mas sin2x só varia entre -1 e 1, então não existe x real que satisfaça sin2x=-tfrac32.

Resposta

(a) x = -\tfrac{\pi}{12} + \pi k ou x = \tfrac{7\pi}{12} + \pi k, com k ∈ ℤ; (b) não há valores de x.

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