Encontre os valores de
tais que a reta tangente ao gráfico de
(a) é perpendicular a reta
e (b) nos quais ela é horizontal.
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de x onde a reta tangente ao gráfico de y=3x−cos2x (a) é perpendicular à reta 2x+4y=5 e (b) onde essa tangente é horizontal. O conteúdo aqui é derivada de funções e inclinação de reta. Vamos precisar: a derivada y’ para achar a inclinação da tangente, a inclinação da reta dada e o conceito de retas perpendiculares e retas horizontais.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de y=3x−cos2x. Usamos que d/dx(3x)=3 e d/dx(cos2x)=−sin2x·2=−2sin2x. Como temos um menos na frente de cos2x, isso vira mais:
Passo 3
Agora achamos a inclinação da reta 2x+4y=5. Isolando y:
Logo, seu coeficiente angular é m=−1/2. Para que uma reta seja perpendicular a outra, o produto das inclinações deve ser −1, ou seja, m_tangente·m_dada=−1. Se m_dada=−1/2, então a inclinação perpendicular é m_perp=2.
Passo 4
Agora impomos y’=m_perp:
Passo 5
Desse modo:
Passo 6
As soluções gerais de
são
onde
Passo 7
Para a parte (b), tangente horizontal significa inclinação zero, ou seja y’=0. Então:
Passo 8
Mas
só varia entre -1 e 1, então não existe
real que satisfaça
.
Resposta
(a) x = -\tfrac{\pi}{12} + \pi k ou x = \tfrac{7\pi}{12} + \pi k, com k ∈ ℤ; (b) não há valores de x.