Use o Teorema de Stokes para calcular ointC F cdot d r, onde C é o bordo do quadrado no espaço R^3 cujos vértices são (0,0,1),(0,1,1),(1,0,1) e (1,1,1), e o campo F é dado por
F(x, y, z)=(3 z-sen x) i+(x^2+e^y) j+(y^3-cos z) k

Passo 1

A questão pede o cálculo de ointCFcdot dr onde C é o bordo do quadrado em z=1 com vértices (0,0,1), (0,1,1), (1,1,1) e (1,0,1). Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma: ointCFcdot dr=integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS,onde S é uma superfície com bordo C e n a normal orientada por regra da mão direita.

Passo 2

Para aplicar o teorema, precisamos do rotor de F(x,y,z)=(3z-sin x),i+(x^2+e^y),j+(y^3-cos z),k. Usando nablatimesF=(Ry-Qz),i+(Pz-Rx),j+(Qx-Py),k, obtemos:
  • Ry=partialpartial y(y^3-cos z)=3y^2 e Qz=0, então componente i é 3y^2.
  • Pz=3 e Rx=0, logo componente j é 3.
  • Qx=2x e Py=0, logo componente k é 2x.
    Assim nablatimesF=3y^2,i+3,j+2x,k

Passo 3

Escolhemos como S o próprio quadrado no plano z=1. A normal unitária orientada para cima é n=k e dS=dA no plano xy, então n,dS=k,dA.
O integrando fica (nablatimesF)cdotn=2x. No domínio D=[0,1]times[0,1], a integral é
integral duplaD2x,dA=integral0^1integral0^1 2x,dy,dx=integral0^1 2xcdot1,dx=[x^2]0^1=1

Resposta

1

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