Encontre vartheta^2 fvartheta x^2, vartheta^2 fvartheta y^2
f(x, y)=y+xy

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=y+\frac{x}{y}, ou seja, vartheta^2fvartheta x^2 e vartheta^2fvartheta y^2. Vamos usar regras básicas de derivada parcial.

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x tratando y como constante. Temos f(x,y)=y+x y^{-1}, então
vartheta fvartheta x=y^0cdotvarthetavartheta x(x)=1y.

Passo 3

Agora, derivamos vartheta fvartheta x=1y em relação a x: como não há x na expressão,
vartheta^2fvartheta x^2=0.

Passo 4

Em seguida, derivamos f em relação a y tratando x como constante. Temos f(x,y)=y+x y^{-1}, então a derivada de y é 1 e, pela regra da potência,
varthetavartheta y(x y^-1)=xcdot(-1)y^-2=-xy^2
Portanto,
vartheta fvartheta y=1-xy^2

Passo 5

Por fim, derivamos 1-xy^2 em relação a y: a derivada de 1 é 0 e de -x y^-2 é (-x)(-2)y^{-3}=2x y^{-3}.
Logo,
vartheta^2fvartheta y^2=2xy^3

Resposta

vartheta^2fvartheta x^2=0, vartheta^2fvartheta y^2=2xy^3

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