Utilizando o item anterior, determine o polinômio de Taylor de grau 5 da função h(x)=x1+x^2 em torno de x=0.

Passo 1

A questão pede o polinômio de Taylor de Taylor de grau 5 da função h(x)=x1+x^2 em torno de x=0. O conteúdo envolvido é série de Taylor e, em especial, a expansão binomial para potências negativas.

Passo 2

Recordando que o polinômio de Taylor de grau n de uma função f em torno de x=0 é dado por
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!,x^k,
mas aqui vamos usar uma forma mais direta via série de potências.

Passo 3

Sabendo que para |t|<1 vale a expansão binomial
(1+t)^-1=summ=0^infty(-1)^m,t^m,
podemos aplicar isso a t=x^2.

Passo 4

Escrevendo
h(x)=x1+x^2=x,(1+x^2)^-1=xsumm=0^infty(-1)^m x^2m=summ=0^infty(-1)^m x^2m+1,
obtemos a série de potências
x - x^3 + x^5 - x^7 + cdots

Passo 5

Para formar o polinômio de Taylor de grau 5, basta truncar essa série nos termos de grau até 5. Assim,
resultado em grau 5:
T5(x)=x - x^3 + x^5

Resposta

T_5(x)=x - x^3 + x^5

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