Utilizando o item anterior, determine o polinômio de Taylor de grau 11 da função g(x)=11+x^2 em torno de x=0.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 11 (ou seja, o polinómio de Maclaurin até a ordem 11) para a função g(x)=11+x^2 centrado em x=0. Vamos usar teoria de séries de Taylor e, em seguida, uma simplificação via série geométrica.

Passo 2

Para obter o polinômio de Maclaurin, em geral usaríamos g(x)=sumn=0^11 g^(n)(0),/,n!;x^n. Mas calcular várias derivadas fica pesado. No entanto, como temos g(x)=1/(1+x^2), podemos identificar uma série de potências conhecida: a série geométrica.

Passo 3

Sabemos que, para |u|<1, vale 1/(1+u)=sumk=0^infty(-1)^ku^k. Basta fazer u=x^2 e obter
11+x^2=sumk=0^infty(-1)^kx^2k

Passo 4

Para formar o polinômio de Taylor de grau 11, mantemos todos os termos até a potência x^11. Como só aparecem potências pares, o maior k que dá 2k<=11 é k=5. Logo, o polinômio é
$$
T_{11}(x)=\sum_{k=0}{5}(-1){k}x^{2k}=1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + x^{8} - x^{10}.$$

Resposta

T11(x)=1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - x^10

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