Utilizando o item anterior, determine o polinômio de Taylor de grau 11 da função
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 11 (ou seja, o polinómio de Maclaurin até a ordem 11) para a função
centrado em
. Vamos usar teoria de séries de Taylor e, em seguida, uma simplificação via série geométrica.
Passo 2
Para obter o polinômio de Maclaurin, em geral usaríamos
. Mas calcular várias derivadas fica pesado. No entanto, como temos
, podemos identificar uma série de potências conhecida: a série geométrica.
Passo 3
Sabemos que, para
, vale
. Basta fazer
e obter
Passo 4
Para formar o polinômio de Taylor de grau 11, mantemos todos os termos até a potência
. Como só aparecem potências pares, o maior
que dá
é
. Logo, o polinômio é
$$
T_{11}(x)=\sum_{k=0}{5}(-1){k}x^{2k}=1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + x^{8} - x^{10}.$$