Encontre a velocidade \dot{x}, em função do deslocamento x , de uma partícula de massa m , que parte do repouso em \mathrm{x}=0 \mathrm{~m}, sujeita à seguinte força, onde \mathrm{F}_{0} \mathrm{e} c são constantes positivas.
F_{x}=F_{0}+c x

Passo 1

O enunciado pede a velocidade \dot{x} (velocidade em função do deslocamento) de uma partícula de massa m sujeita à força unidimensional dada por \;F_x=F_0+cx\;, onde F_0 e c são constantes positivas. A partícula parte do repouso em x=0. Informações relevantes fornecidas:
  • massa: \;m\; (constante);
  • força dependente da posição: \;F_x=F_0+cx\; com F_0>0 e c>0;
  • condição inicial: \;x(0)=0\; e \;\dot{x}(0)=0\;;
  • objetivo: encontrar \;\dot{x} como função de \;x\; (ou seja, \dot{x}=\dot{x}(x)).

Passo 2

Escolha do método: podemos usar (i) a segunda lei de Newton com a regra da cadeia ( a=\dfrac{dv}{dt}=v\dfrac{dv}{dx}) ou (ii) o Teorema Trabalho-Energia (o trabalho da força entre 0 e x iguala a variação da energia cinética). Vou usar o Teorema Trabalho-Energia porque é direto para forças que dependem de x e evita manipular equações diferenciais de tempo — é um método padrão e rápido em provas. Observação: os dois métodos são equivalentes e levam ao mesmo resultado.

Passo 3

Aula rápida sobre o Teorema Trabalho-Energia:
  • Energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é \;K=\dfrac{1}{2}mv^2\;.
  • O trabalho realizado por uma força F(x) quando a partícula se desloca de x=a até x=b é \displaystyle W=\int_{a}^{b} F(x)\,dx.
  • O Teorema Trabalho-Energia diz que o trabalho total realizado pela(s) força(s) resultante(s) sobre a partícula entre duas posições é igual à variação da energia cinética:
\Delta K = K(b)-K(a)=\int_{a}^{b} F(x)\,dx.
Aqui usaremos a=0 (posição inicial) e b=x (posição genérica).

Passo 4

Calcular o trabalho da força \;F(x)=F_0+cx\; ao deslocar de 0 até x. Usamos uma variável de integração distinta, digamos x':
W=\int_{0}^{x} \big(F_0 + c x'\big)\,dx'.
Separamos a integral:
W=\int_{0}^{x} F_0\,dx' + \int_{0}^{x} c x'\,dx'.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{x} F_0\,dx' = F_0 x, \qquad \int_{0}^{x} c x'\,dx' = c\left[\tfrac{1}{2}{x'}^{2}\right]_{0}^{x} = \tfrac{1}{2}c x^{2}.
Portanto,
W = F_0 x + \tfrac{1}{2} c x^{2}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Trabalho-Energia. A variação da energia cinética entre x=0 (inicial, com v(0)=0) e x é:
\Delta K = \tfrac{1}{2} m v^{2} - 0 = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde escrevi v=\dot{x} para a velocidade na posição x. Igualando ao trabalho calculado:
\tfrac{1}{2} m v^{2} = F_0 x + \tfrac{1}{2} c x^{2}.

Passo 6

Isolar v^{2} a partir da equação anterior:
v^{2} = \dfrac{2}{m}\!\left(F_0 x + \tfrac{1}{2} c x^{2}\right).
Simplificando a expressão:
v^{2} = \dfrac{2F_0 x + c x^{2}}{m}.
Comentário físico sobre o sinal: \;v^{2}\ge 0\;. A velocidade \dot{x} pode ser positiva ou negativa em princípio, mas aqui a partícula parte do repouso em x=0 e a força é positiva para x\ge0 (já que F_0>0 e c x\ge0), então a partícula acelera no sentido positivo e tomamos a raiz positiva para a velocidade \dot{x}.

Passo 7

Resumo do que fizemos e verificação rápida:
  • Integramos a força dependente de x para obter trabalho.
  • Igualamos o trabalho à variação da energia cinética.
  • Isolamos v^{2}. A expressão obtida tem comportamento físico esperado: em x=0 v=0; para x>0 a velocidade cresce.
  • (Se quisermos, o método Newton + a=v\,dv/dx levaria à mesma integral \int v\,dv = \int \dfrac{F_0+cx}{m}\,dx, resultando na mesma expressão para v^{2}.)

Resposta

\dot{x}=\sqrt{\dfrac{2F_{0}x+c x^{2}}{m}}=\sqrt{\dfrac{x\big(2F_{0}+c x\big)}{m}}

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