Encontre a velocidade
, em função do deslocamento x , de uma partícula de massa m , que parte do repouso em
, sujeita à seguinte força, onde
c são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado pede a velocidade
(velocidade em função do deslocamento) de uma partícula de massa
sujeita à força unidimensional dada por
, onde
e
são constantes positivas. A partícula parte do repouso em
. Informações relevantes fornecidas:
- massa:
(constante); - força dependente da posição:
com e ; - condição inicial:
e ; - objetivo: encontrar
como função de (ou seja, ).
Passo 2
Escolha do método: podemos usar (i) a segunda lei de Newton com a regra da cadeia (
) ou (ii) o Teorema Trabalho-Energia (o trabalho da força entre
e
iguala a variação da energia cinética). Vou usar o Teorema Trabalho-Energia porque é direto para forças que dependem de
e evita manipular equações diferenciais de tempo — é um método padrão e rápido em provas. Observação: os dois métodos são equivalentes e levam ao mesmo resultado.
Passo 3
Aula rápida sobre o Teorema Trabalho-Energia:
- Energia cinética de uma partícula de massa
e velocidade é . - O trabalho realizado por uma força
quando a partícula se desloca de até é . - O Teorema Trabalho-Energia diz que o trabalho total realizado pela(s) força(s) resultante(s) sobre a partícula entre duas posições é igual à variação da energia cinética:
Aqui usaremos
(posição inicial) e
(posição genérica).
Passo 4
Calcular o trabalho da força
ao deslocar de
até
. Usamos uma variável de integração distinta, digamos
:
Separamos a integral:
Agora integramos termo a termo:
Portanto,
Passo 5
Aplicar o Teorema Trabalho-Energia. A variação da energia cinética entre
(inicial, com
) e
é:
onde escrevi
para a velocidade na posição
. Igualando ao trabalho calculado:
Passo 6
Isolar
a partir da equação anterior:
Simplificando a expressão:
Comentário físico sobre o sinal:
. A velocidade
pode ser positiva ou negativa em princípio, mas aqui a partícula parte do repouso em
e a força é positiva para
(já que
e
), então a partícula acelera no sentido positivo e tomamos a raiz positiva para a velocidade
.
Passo 7
Resumo do que fizemos e verificação rápida:
- Integramos a força dependente de
para obter trabalho. - Igualamos o trabalho à variação da energia cinética.
- Isolamos
. A expressão obtida tem comportamento físico esperado: em dá ; para a velocidade cresce. - (Se quisermos, o método Newton +
levaria à mesma integral , resultando na mesma expressão para .)