Encontre a velocidade \dot{x} e a posição x em função do tempo t para uma partícula de massa m, que parte do repouso na posição x=0 \mathrm{~m} em t=0 \mathrm{~s}, sujeita à seguinte força, onde \mathrm{F}_{0} \mathrm{e} c são constantes positivas:
F_{x}=F_{0} \operatorname{sen}(c t)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Força sobre a partícula: F_x = F_0\,\operatorname{sen}(c t), onde F_0 e c são constantes positivas. (Aqui vou usar a notação usual \sin para a função seno; \operatorname{sen} é equivalente a \sin.)
  • Massa da partícula: m (constante).
  • Condições iniciais: em t=0 tem-se x(0)=0 e a partícula parte do repouso, então \dot{x}(0)=0.
O que o exercício pede:
  • Encontrar a velocidade \dot{x}(t) em função do tempo t.
  • Encontrar a posição x(t) em função do tempo t.

Passo 2

Relacionamento físico que vamos usar (explicando devagar): a segunda lei de Newton diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. Em uma dimensão, isso é
F_x = m a_x.
Aqui \;a_x é a aceleração na direção x, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é \;a_x = \ddot{x}(t) = \dfrac{d\dot{x}}{dt}. Todas as letras em \;m, F_0, c, t, x têm o significado já listado no Passo 1.

Passo 3

Substituímos a força dada na lei de Newton para obter a equação diferencial da aceleração:
m\,\ddot{x}(t) = F_0 \sin(c t).
Isolando a aceleração:
\ddot{x}(t) = \dfrac{F_0}{m}\,\sin(c t).
Isso quer dizer que a aceleração é uma função conhecida de t. Para achar a velocidade \dot{x}(t) precisamos integrar essa aceleração em relação a t.

Passo 4

Integração para obter a velocidade: integrando ambos os lados em t,
\dot{x}(t) = \int \ddot{x}(t)\,dt = \int \dfrac{F_0}{m}\,\sin(c t)\,dt.
Fatores constantes podem sair da integral:
\dot{x}(t) = \dfrac{F_0}{m}\int \sin(c t)\,dt.
Agora uma pequena aulinha sobre integrar seno com constante no argumento: a primitiva de \sin(\alpha t) é -\dfrac{1}{\alpha}\cos(\alpha t), porque pela regra da cadeia \dfrac{d}{dt}\big(-\dfrac{1}{\alpha}\cos(\alpha t)\big)= -\dfrac{1}{\alpha}(-\alpha)\sin(\alpha t)=\sin(\alpha t). Então, aplicando isso com \alpha=c,
\int \sin(c t)\,dt = -\dfrac{1}{c}\cos(c t) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a primitiva à nossa integral obtemos a forma geral da velocidade:
\dot{x}(t) = \dfrac{F_0}{m}\left(-\dfrac{1}{c}\cos(c t)\right) + C_1 = -\dfrac{F_0}{m c}\cos(c t) + C_1,
onde C_1 é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial \dot{x}(0)=0.

Passo 6

Encontrar C_1 com a condição inicial: em t=0,
\dot{x}(0) = -\dfrac{F_0}{m c}\cos(0) + C_1 = -\dfrac{F_0}{m c}\cdot 1 + C_1.
Como \dot{x}(0)=0, temos
0 = -\dfrac{F_0}{m c} + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \dfrac{F_0}{m c}.
Substituindo de volta,
\dot{x}(t) = \dfrac{F_0}{m c}\big(1 - \cos(c t)\big).
Pronto: essa é a velocidade explícita. Note que em t=0 o termo entre parênteses é 1-1=0, satisfazendo o repouso inicial.

Passo 7

Agora vamos achar x(t) integrando \dot{x}(t). Escrevemos
x(t) = \int \dot{x}(t)\,dt = \int \dfrac{F_0}{m c}\big(1 - \cos(c t)\big)\,dt.
Novamente o fator constante sai da integral:
x(t) = \dfrac{F_0}{m c}\int \big(1 - \cos(c t)\big)\,dt.
Integramos termo a termo. A primitiva de 1 é t. A primitiva de \cos(c t) é \dfrac{1}{c}\sin(c t), pois \dfrac{d}{dt}\big(\dfrac{1}{c}\sin(c t)\big)=\dfrac{1}{c}\cdot c\cos(c t)=\cos(c t).

Passo 8

Aplicando as primitivas:
x(t) = \dfrac{F_0}{m c}\left(t - \dfrac{1}{c}\sin(c t)\right) + C_2 = \dfrac{F_0}{m c}t - \dfrac{F_0}{m c^2}\sin(c t) + C_2,
onde C_2 é a constante de integração a ser determinada pela condição inicial x(0)=0.

Passo 9

Determinar C_2 com x(0)=0: em t=0,
x(0) = \dfrac{F_0}{m c}\cdot 0 - \dfrac{F_0}{m c^2}\sin(0) + C_2 = 0 + 0 + C_2.
Portanto C_2=0. Assim a posição é
x(t) = \dfrac{F_0}{m c}\,t - \dfrac{F_0}{m c^2}\sin(c t).
Podemos também escrever de forma factorizada:
x(t) = \dfrac{F_0}{m c^2}\big(c t - \sin(c t)\big).

Passo 10

Checagem rápida (para te dar confiança): para t muito pequeno podemos usar a expansão \sin(c t)\approx c t - \dfrac{(c t)^3}{6}, então
x(t)\approx \dfrac{F_0}{m c^2}\Big(c t - \big(c t - \dfrac{(c t)^3}{6}\big)\Big)=\dfrac{F_0}{m c^2}\cdot \dfrac{(c t)^3}{6}=\dfrac{F_0}{m}\dfrac{t^3}{6},
que é consistente com aceleração inicial \ddot{x}(0)=\dfrac{F_0}{m} (pois para aceleração constante inicial a posição cresce como t^3 no começo quando a aceleração é proporcional a t^0 — aqui a aceleração é finita em t=0). Isso é só uma confirmação de que as expressões estão coerentes.

Resposta

\dot{x}(t)=\dfrac{F_0}{m c}\big(1-\cos(c t)\big)\n
x(t)=\dfrac{F_0}{m c}\,t-\dfrac{F_0}{m c^2}\sin(c t)

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