Encontre a velocidade
e a posição x em função do tempo t para uma partícula de massa m, que parte do repouso na posição
em
, sujeita à seguinte força, onde
c são constantes positivas:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Força sobre a partícula:
, onde e são constantes positivas. (Aqui vou usar a notação usual para a função seno; é equivalente a .) - Massa da partícula:
(constante). - Condições iniciais: em
tem-se e a partícula parte do repouso, então .
O que o exercício pede:
- Encontrar a velocidade
em função do tempo . - Encontrar a posição
em função do tempo .
Passo 2
Relacionamento físico que vamos usar (explicando devagar): a segunda lei de Newton diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. Em uma dimensão, isso é
Aqui
é a aceleração na direção
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é
. Todas as letras em
têm o significado já listado no Passo 1.
Passo 3
Substituímos a força dada na lei de Newton para obter a equação diferencial da aceleração:
Isolando a aceleração:
Isso quer dizer que a aceleração é uma função conhecida de
. Para achar a velocidade
precisamos integrar essa aceleração em relação a
.
Passo 4
Integração para obter a velocidade: integrando ambos os lados em
,
Fatores constantes podem sair da integral:
Agora uma pequena aulinha sobre integrar seno com constante no argumento: a primitiva de
é
, porque pela regra da cadeia
. Então, aplicando isso com
,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando a primitiva à nossa integral obtemos a forma geral da velocidade:
onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 6
Encontrar
com a condição inicial: em
,
Como
, temos
Substituindo de volta,
Pronto: essa é a velocidade explícita. Note que em
o termo entre parênteses é
, satisfazendo o repouso inicial.
Passo 7
Agora vamos achar
integrando
. Escrevemos
Novamente o fator constante sai da integral:
Integramos termo a termo. A primitiva de
é
. A primitiva de
é
, pois
.
Passo 8
Aplicando as primitivas:
onde
é a constante de integração a ser determinada pela condição inicial
.
Passo 9
Determinar
com
: em
,
Portanto
. Assim a posição é
Podemos também escrever de forma factorizada:
Passo 10
Checagem rápida (para te dar confiança): para
muito pequeno podemos usar a expansão
, então
que é consistente com aceleração inicial
(pois para aceleração constante inicial a posição cresce como
no começo quando a aceleração é proporcional a
— aqui a aceleração é finita em
). Isso é só uma confirmação de que as expressões estão coerentes.