Sejam V=P_{3}(\mathbb{R}) e B=\left\{p_{1}(t), p_{2}(t)\right\}, com p_{1}(t)=1+3 t^{3} e p_{2}(t)=2 t+t^{2}. Verifique se o conjunto B é LI ou LD.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=P_{3}(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau até 3) e o conjunto B=\{p_{1}(t),p_{2}(t)\} com
p_{1}(t)=1+3t^{3},\qquad p_{2}(t)=2t+t^{2}.
A pergunta é: o conjunto B é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?\n
Listando as informações relevantes: p_{1} e p_{2} são polinômios em P_{3}(\mathbb{R}); preciso verificar se existe combinação linear não trivial que dê o polinômio zero.

Passo 2

Definição (passo-a-passo didático): um conjunto \{v_{1},\dots,v_{k}\} de vetores é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{k}v_{k}=0
é \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{k}=0. Caso exista alguma escolha de escalares \alpha_{i}, não todos zero, que satisfaça a igualdade, o conjunto é linearmente dependente.\n
Aqui os “vetores” são polinômios; a igualdade quer dizer igualdade de polinômios, ou seja, todos os coeficientes correspondentes devem coincidir.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: considere escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} e escreva a combinação linear
\alpha p_{1}(t)+\beta p_{2}(t).
Queremos achar todas as \alpha,\beta tais que essa combinação seja o polinômio zero (o polinômio que tem todos os coeficientes nulos).

Passo 4

Escrevendo explicitamente a combinação, usando p_{1} e p_{2}:
\alpha(1+3t^{3})+\beta(2t+t^{2})=\alpha + (2\beta)t + (\beta)t^{2} + (3\alpha)t^{3}.
Expliquei: multipliquei cada polinômio pelo respectivo escalar e somei termo a termo; o resultado é um polinômio com coeficientes dependentes de \alpha e \beta.

Passo 5

Como queremos que essa expressão seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim obtemos o sistema de equações (cada linha corresponde ao coeficiente de uma potência de t\)): \[\begin{cases} \text{constante:} & \alpha = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }t: & 2\beta = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }t^{2}: & \beta = 0,\\[4pt] \text{coeficiente de }t^{3}: & 3\alpha = 0. \end{cases}
Aqui cada equação vem de igualar o coeficiente correspondente a zero (por exemplo, o coeficiente de t^{2}\] na combinação foi \(\beta, portanto \beta=0).]

Passo 6

Resolvendo o sistema passo a passo: da equação \beta=0 (coeficiente de t^{2}) já temos \beta=0. Substituindo em 2\beta=0 0=0, consistente. Da equação \alpha=0 (constante) temos \alpha=0. A equação 3\alpha=0 também é satisfeita com \alpha=0. Portanto as únicas soluções são \alpha=0 e \beta=0.\n
Isso significa que a única combinação linear que gera o polinômio zero é a combinação trivial (ambos escalares nulos).

Passo 7

Conclusão interpretativa e dica para prova: como só existe a solução trivial, p_{1} e p_{2} são linearmente independentes. Uma observação rápida que ajuda a ver isso sem montar todo o sistema: p_{1} tem termo em t^{3} não nulo enquanto p_{2} não tem termo em t^{3}; para cancelar o t^{3} seria preciso \alpha=0, o que depois força \beta=0 pelos outros coeficientes — mesma conclusão, mas em prova é seguro montar as equações dos coeficientes.

Resposta

O conjunto B é linearmente independente.

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