Sejam
e
, com
e
. Verifique se o conjunto
é LI ou LD.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(polinômios reais de grau até 3) e o conjunto
com
A pergunta é: o conjunto
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?\n
Listando as informações relevantes: e
são polinômios em
; preciso verificar se existe combinação linear não trivial que dê o polinômio zero.
Listando as informações relevantes:
Passo 2
Definição (passo-a-passo didático): um conjunto
de vetores é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Caso exista alguma escolha de escalares
, não todos zero, que satisfaça a igualdade, o conjunto é linearmente dependente.\n
Aqui os “vetores” são polinômios; a igualdade quer dizer igualdade de polinômios, ou seja, todos os coeficientes correspondentes devem coincidir.
Aqui os “vetores” são polinômios; a igualdade quer dizer igualdade de polinômios, ou seja, todos os coeficientes correspondentes devem coincidir.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso: considere escalares
e escreva a combinação linear
Queremos achar todas as
tais que essa combinação seja o polinômio zero (o polinômio que tem todos os coeficientes nulos).
Passo 4
Escrevendo explicitamente a combinação, usando
e
:
Expliquei: multipliquei cada polinômio pelo respectivo escalar e somei termo a termo; o resultado é um polinômio com coeficientes dependentes de
e
.
Passo 5
Como queremos que essa expressão seja o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Assim obtemos o sistema de equações (cada linha corresponde ao coeficiente de uma potência de
Aqui cada equação vem de igualar o coeficiente correspondente a zero (por exemplo, o coeficiente de
, portanto
).]
Passo 6
Resolvendo o sistema passo a passo: da equação
(coeficiente de
) já temos
. Substituindo em
dá
, consistente. Da equação
(constante) temos
. A equação
também é satisfeita com
. Portanto as únicas soluções são
e
.\n
Isso significa que a única combinação linear que gera o polinômio zero é a combinação trivial (ambos escalares nulos).
Isso significa que a única combinação linear que gera o polinômio zero é a combinação trivial (ambos escalares nulos).
Passo 7
Conclusão interpretativa e dica para prova: como só existe a solução trivial,
e
são linearmente independentes. Uma observação rápida que ajuda a ver isso sem montar todo o sistema:
tem termo em
não nulo enquanto
não tem termo em
; para cancelar o
seria preciso
, o que depois força
pelos outros coeficientes — mesma conclusão, mas em prova é seguro montar as equações dos coeficientes.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.