Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição
no valor determinado de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a posição da partícula como função do tempo:
e pede, no instante
, as seguintes quantidades:
- o vetor velocidade
avaliado em ; - o módulo (velocidade escalar)
em ; - o vetor aceleração
em .
As informações relevantes que temos são exatamente os componentes de
e o instante
.
Passo 2
Definição e como calcular a velocidade: a velocidade é a derivada temporal do vetor posição e calcula-se derivando componente a componente. Ou seja, se
então
Relembrando derivadas básicas que vamos usar:
-
, -
, -
para constante , - a derivada de uma constante multiplicada é a constante vezes a derivada da função.
Agora aplicamos isso a cada componente de
:
Portanto o vetor velocidade geral é
Passo 3
Avaliar a velocidade em
. Usamos os valores conhecidos:
Substituindo em
:
Passo 4
Definição e cálculo do módulo da velocidade (velocidade escalar): o módulo de um vetor
em
é dado por
Aplicando isso ao vetor velocidade em
:
Simplificando
. Logo a velocidade escalar no instante pedido é
.
Passo 5
Definição e cálculo da aceleração: a aceleração é a derivada da velocidade, também feita componente a componente:
Derivando os componentes de
:
Portanto
Passo 6
Avaliar a aceleração em
. Usando
e
: