Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição r(t) no valor determinado de t.
r(t)=(2 \cos (t), 3 \operatorname{sen}(t), 4 t) ; =\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula como função do tempo:
r(t) = \bigl(2\cos(t),\; 3\sin(t),\; 4t\bigr)
e pede, no instante t=\dfrac{\pi}{2}, as seguintes quantidades:
  • o vetor velocidade \,v(t)=r'(t)\, avaliado em \,t=\dfrac{\pi}{2};
  • o módulo (velocidade escalar) \,|v(t)|\, em \,t=\dfrac{\pi}{2};
  • o vetor aceleração \,a(t)=v'(t)=r''(t)\, em \,t=\dfrac{\pi}{2}.
As informações relevantes que temos são exatamente os componentes de r(t) e o instante \,t=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Definição e como calcular a velocidade: a velocidade é a derivada temporal do vetor posição e calcula-se derivando componente a componente. Ou seja, se
r(t) = \bigl(x(t),\; y(t),\; z(t)\bigr),
então
v(t)=r'(t)=\bigl(x'(t),\; y'(t),\; z'(t)\bigr).
Relembrando derivadas básicas que vamos usar:
  • \dfrac{d}{dt}\cos(t) = -\sin(t),
  • \dfrac{d}{dt}\sin(t) = \cos(t),
  • \dfrac{d}{dt}(c\,t)=c para constante c,
  • a derivada de uma constante multiplicada é a constante vezes a derivada da função.
Agora aplicamos isso a cada componente de r(t):
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\bigl(2\cos(t)\bigr) &= 2\cdot\frac{d}{dt}\cos(t)=2\cdot\bigl(-\sin(t)\bigr)=-2\sin(t),\\[6pt] \frac{d}{dt}\bigl(3\sin(t)\bigr) &= 3\cdot\frac{d}{dt}\sin(t)=3\cdot\cos(t)=3\cos(t),\\[6pt] \frac{d}{dt}\bigl(4t\bigr) &= 4. \end{aligned}
Portanto o vetor velocidade geral é
v(t)=\bigl(-2\sin(t),\; 3\cos(t),\; 4\bigr).]

Passo 3

Avaliar a velocidade em \,t=\dfrac{\pi}{2}. Usamos os valores conhecidos:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Substituindo em v(t):
v\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\bigl(-2\cdot 1,\; 3\cdot 0,\; 4\bigr)=\bigl(-2,\;0,\;4\bigr).

Passo 4

Definição e cálculo do módulo da velocidade (velocidade escalar): o módulo de um vetor \bigl(v_x,v_y,v_z\bigr) em \mathbb{R}^3 é dado por
\lvert v\rvert = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Aplicando isso ao vetor velocidade em \,t=\dfrac{\pi}{2}:
\lvert v\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\rvert = \sqrt{(-2)^{2}+0^{2}+4^{2}} = \sqrt{4+0+16} = \sqrt{20}.
Simplificando \sqrt{20}=2\sqrt{5}. Logo a velocidade escalar no instante pedido é 2\sqrt{5}.

Passo 5

Definição e cálculo da aceleração: a aceleração é a derivada da velocidade, também feita componente a componente:
a(t)=v'(t)=r''(t).
Derivando os componentes de v(t)=\bigl(-2\sin(t),\;3\cos(t),\;4\bigr):
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\bigl(-2\sin(t)\bigr) &= -2\cos(t),\\[4pt] \frac{d}{dt}\bigl(3\cos(t)\bigr) &= 3\cdot(-\sin(t)) = -3\sin(t),\\[4pt] \frac{d}{dt}(4) &= 0. \end{aligned}
Portanto
a(t)=\bigl(-2\cos(t),\; -3\sin(t),\; 0\bigr).]

Passo 6

Avaliar a aceleração em \,t=\dfrac{\pi}{2}. Usando \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0:
a\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\bigl(-2\cdot 0,\; -3\cdot 1,\; 0\bigr)=\bigl(0,\;-3,\;0\bigr).

Resposta

v\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\bigl(-2,\;0,\;4\bigr)
\lvert v\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\rvert=2\sqrt{5}
a\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\bigl(0,\;-3,\;0\bigr)

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