Encontre os vértices, os focos e o centro/as assíntotas.
.
Passo 1
Temos a equação
de uma cônica de segundo grau. O objetivo é identificar o tipo de cônica e achar o centro, os vértices, os focos e, se existirem, as assíntotas. Para isso, vamos usar completar quadrados e comparar com a forma padrão das elipses ou hipérboles.
Passo 2
Reagrupar termos de
e
e completar quadrados. Escrevemos:
Agora
e
.
Passo 3
Substituindo as identidades de completar quadrados:
Distribuindo e somando constantes, obtemos
ou seja
Passo 4
Dividindo ambos os lados por 48, chegamos à forma padrão da elipse:
Daí identificamos que é uma elipse centrada em
, com
e
. Como
, o eixo maior é horizontal.
Passo 5
Os vértices ficam em
, ou seja
Para os focos, calculamos
, então
. Logo os focos são
Passo 6
Elipses não possuem assíntotas (as retas que se aproximam do gráfico no infinito aparecem em hipérboles, não em elipses). Portanto, não há assíntotas neste caso.
Resposta
Centro: (3,4). Vértices: (3±2√2,4). Focos: (3±√2,4). Assíntotas: não existem.