Encontre os vértices, os focos e o centro/as assíntotas.
8y^2+6x^2-36x-64y+134=0.

Passo 1

Temos a equação 8y^2+6x^2-36x-64y+134=0 de uma cônica de segundo grau. O objetivo é identificar o tipo de cônica e achar o centro, os vértices, os focos e, se existirem, as assíntotas. Para isso, vamos usar completar quadrados e comparar com a forma padrão das elipses ou hipérboles.

Passo 2

Reagrupar termos de x e y e completar quadrados. Escrevemos:
6x^2 -36x + 8y^2 -64y + 134 = 0
Agora x^2 -6x = (x-3)^2 -9 e y^2 -8y = (y-4)^2 -16.

Passo 3

Substituindo as identidades de completar quadrados:
6l((x-3)^2 -9r) + 8l((y-4)^2 -16r) + 134 = 0
Distribuindo e somando constantes, obtemos
6(x-3)^2 + 8(y-4)^2 -54 -128 + 134 = 0
ou seja
6(x-3)^2 + 8(y-4)^2 = 48

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 48, chegamos à forma padrão da elipse:
(x-3)^28 + (y-4)^26 = 1
Daí identificamos que é uma elipse centrada em (3,4), com a^2 = 8 e b^2 = 6. Como a^2 > b^2, o eixo maior é horizontal.

Passo 5

Os vértices ficam em (hpm a,k), ou seja
(3 pm raiz8,,4) = (3 pm 2raiz2,,4)
Para os focos, calculamos c^2 = a^2 - b^2 = 8 - 6 = 2, então c = raiz2. Logo os focos são
(3 pm raiz2,,4)

Passo 6

Elipses não possuem assíntotas (as retas que se aproximam do gráfico no infinito aparecem em hipérboles, não em elipses). Portanto, não há assíntotas neste caso.

Resposta

Centro: (3,4). Vértices: (3±2√2,4). Focos: (3±√2,4). Assíntotas: não existem.

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