Encontre o vetor gradiente \nabla f(x, y) de cada uma das funções de duas variáveis a seguir, avaliado no ponto P dado:
f(x, y)-\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), no ponto P(1,1)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • Ponto P(1,1).
  • Pede-se: encontrar o vetor gradiente \nabla f(x,y) e avaliá‑lo em P(1,1).

Passo 2

O que é o vetor gradiente e como vamos representá‑lo:
  • O vetor gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
  • Em símbolos:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa: derivar f em relação a x tratando y como constante; análogo para \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Preparar o uso da regra da cadeia para f(x,y)=\ln(u(x,y)):
  • Se f=\ln(u) com u=u(x,y), pela regra da cadeia vale
\frac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\ln(u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
  • No nosso caso, tome u(x,y)=x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Primeiro \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x (pois y^{2} é constante em relação a x).
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x = \frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Primeiro \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y = \frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Avaliar as componentes no ponto P(1,1):
  • Calcular o denominador em P: x^{2}+y^{2}=1^{2}+1^{2}=2.
  • Então
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(1,1)}=\frac{2\cdot 1}{2}=1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(1,1)}=\frac{2\cdot 1}{2}=1.

Resposta

\nabla f(1,1)=(1,1)

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