Encontre o vetor gradiente
de cada uma das funções de duas variáveis a seguir, avaliado no ponto
dado:
, no ponto
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado
. - Ponto
. - Pede-se: encontrar o vetor gradiente
e avaliá‑lo em .
Passo 2
O que é o vetor gradiente e como vamos representá‑lo:
- O vetor gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
- Em símbolos:
- Aqui
significa: derivar em relação a tratando como constante; análogo para .
Passo 3
Preparar o uso da regra da cadeia para
:
- Se
com , pela regra da cadeia vale
- No nosso caso, tome
.
Passo 4
Calcular
:
- Primeiro
(pois é constante em relação a ). - Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Calcular
:
- Primeiro
. - Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Avaliar as componentes no ponto
:
- Calcular o denominador em
: . - Então