Encontre o vetor gradiente \nabla f(x, y) de cada uma das funções de duas variáveis a seguir, avaliado no ponto P dado:
f(x, y)=\sin (x) \cos (y), no ponto P\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sin(x)\cos(y)
e o ponto
P\!\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right).
O que se pede: encontrar o vetor gradiente \nabla f(x,y) e avaliá‑lo no ponto P.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos encontrá‑lo. O vetor gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é definido por
\nabla f(x,y)=\big(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\big),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e a y, respectivamente.
Derivada parcial em x: diferenciar f em relação a x mantendo y fixo.
Derivada parcial em y: diferenciar f em relação a y mantendo x fixo.

Passo 3

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar:
  • \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • \dfrac{d}{dy}\cos(y)=-\sin(y).
  • Se uma função é produto de uma função de x por uma função de y, ao diferenciar em relação a x a parte que depende só de y é tratada como constante (e vice‑versa).
Agora calculamos f_x(x,y). Como \cos(y) é independente de x, ao derivar em x temos
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin(x)\cos(y)\big)=\cos(x)\cos(y).

Passo 4

Agora calculamos f_y(x,y). Como \sin(x) é independente de y, ao derivar em y temos
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(\sin(x)\cos(y)\big)=\sin(x)\cdot\big(-\sin(y)\big)=-\sin(x)\sin(y).

Passo 5

Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\big(\cos(x)\cos(y),\,-\sin(x)\sin(y)\big).
Agora avaliamos as componentes no ponto P com x=\dfrac{\pi}{4} e y=\dfrac{\pi}{4}. Lembrando que
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
f_x\!\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right) =\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2},
f_y\!\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right) =-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) =-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}.

Resposta

\nabla f\!\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right)

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