Encontre o vetor gradiente
de cada uma das funções de duas variáveis a seguir, avaliado no ponto
dado:
, no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
O que se pede: encontrar o vetor gradiente
e avaliá‑lo no ponto
.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos encontrá‑lo. O vetor gradiente de uma função de duas variáveis
é definido por
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e a
, respectivamente.
Derivada parcial em : diferenciar
em relação a
mantendo
fixo.
Derivada parcial em : diferenciar
em relação a
mantendo
fixo.
Derivada parcial em
Derivada parcial em
Passo 3
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar:
-
. -
. - Se uma função é produto de uma função de
por uma função de , ao diferenciar em relação a a parte que depende só de é tratada como constante (e vice‑versa).
Agora calculamos
. Como
é independente de
, ao derivar em
temos
Passo 4
Agora calculamos
. Como
é independente de
, ao derivar em
temos
Passo 5
Portanto o gradiente geral é
Agora avaliamos as componentes no ponto
com
e
. Lembrando que
temos