Encontre o vetor gradiente \nabla f(x, y) de cada uma das funções de duas variáveis a seguir, avaliado no ponto P dado:
f(x, y)-e^{x y}, no ponto P(0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função e o ponto onde devemos avaliar o gradiente:
  • Função: f(x,y)=e^{x y}.
  • Ponto: P(0,1).
O que é pedido: calcular o vetor gradiente \nabla f(x,y) e avaliá-lo no ponto P(0,1).

Passo 2

O que é o vetor gradiente?
  • Definição: o gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a x e a y.
  • Notação:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Explicação simples: cada derivada parcial diz como f varia quando mexemos apenas numa das variáveis, mantendo a outra fixa.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Identificar a composição: f(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=x y.
  • Regra usada (cadeia): a derivada de e^{u} em relação a x é e^{u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Calcule \dfrac{\partial u}{\partial x}: como u(x,y)=x y e tratamos y como constante, tem-se \dfrac{\partial u}{\partial x}=y.
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{x y}\cdot y = y\,e^{x y}.

Passo 4

Agora calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
  • Mesma ideia: f=e^{u} com u=x y. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x y).
  • Como x é tratado como constante, \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x.
  • Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{x y}\cdot x = x\,e^{x y}.

Passo 5

Juntando as componentes, o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\bigl(y\,e^{x y},\;x\,e^{x y}\bigr).

Passo 6

Agora avaliaremos o gradiente no ponto P(0,1).
  • Primeiro calcule e^{x y} em (0,1): e^{0\cdot1}=e^{0}=1.
  • Então
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1)=y\,e^{x y}\big|_{(0,1)}=1\cdot 1=1,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=x\,e^{x y}\big|_{(0,1)}=0\cdot 1=0.
  • Portanto o gradiente em P é \bigl(1,0\bigr).

Resposta

\nabla f(0,1)=\bigl(1,0\bigr)

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