Encontre o vetor gradiente
de cada uma das funções de duas variáveis a seguir, avaliado no ponto
dado:
, no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a função e o ponto onde devemos avaliar o gradiente:
- Função:
. - Ponto:
.
O que é pedido: calcular o vetor gradiente
e avaliá-lo no ponto
.
Passo 2
O que é o vetor gradiente?
- Definição: o gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e a . - Notação:
Explicação simples: cada derivada parcial diz como
varia quando mexemos apenas numa das variáveis, mantendo a outra fixa.
Passo 3
Vamos calcular
.
- Identificar a composição:
com . - Regra usada (cadeia): a derivada de
em relação a é . - Calcule
: como e tratamos como constante, tem-se . - Portanto,
Passo 4
Agora calcule
.
- Mesma ideia:
com . Pela regra da cadeia,
- Como
é tratado como constante, . - Logo,
Passo 5
Juntando as componentes, o gradiente geral é
Passo 6
Agora avaliaremos o gradiente no ponto
.
- Primeiro calcule
em : . - Então
- Portanto o gradiente em
é .