Encontre o vetor \nabla f no ponto dado.
(b) f(x, y)=x y^{2}, P=(2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor gradiente de f(x,y)=x\,y^{2} no ponto P=(2,-1). O conteúdo que vamos usar é o conceito de gradiente e de derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que o gradiente de f é definido por
\nabla f(x,y) = \biggl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\biggr).

Passo 3

Calculamos cada derivada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2\,x\,y.

Passo 4

Agora avaliamos em P=(2,-1):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1) = (-1)^{2} = 1,
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-1) = 2\cdot 2 \cdot (-1) = -4.

Passo 5

Portanto, o gradiente no ponto P é
\nabla f(2,-1) = (1,\,-4).

Resposta

\nabla f(2,-1) = (1,-4)

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