Encontre o vetor \nabla f no ponto dado.
(a) f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), P=(1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) e pede o vetor gradiente \nabla f no ponto P=(1,1). Vamos usar derivadas parciais e a definição
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x}, aplicamos a regra da cadeia a \ln(u) com u=x^2+y^2:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2x =\frac{2x}{x^2+y^2}.

Passo 3

De modo análogo, para \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2y =\frac{2y}{x^2+y^2}.

Passo 4

No ponto P=(1,1) temos x^2+y^2=2, logo
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=\tfrac{2\cdot1}{2}=1
e
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=\tfrac{2\cdot1}{2}=1.
Portanto,
\nabla f(1,1)=(1,1).

Resposta

\nabla f(1,1)=(1,1)

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