Determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} nos pontos dados usando a fórmula de derivação implícita para funções de duas variáveis.
\operatorname{sen}(x+y)+\operatorname{sen}(y+z)+\operatorname{sen}(x+z)=0, P=(\pi, \pi, \pi)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\sin(x+y)+\sin(y+z)+\sin(x+z)=0
e pede as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} no ponto P=(\pi,\pi,\pi).
O conteúdo usado será diferenciação implícita para funções de duas variáveis, tratando z como z(x,y).

Passo 2

Para achar \frac{\partial z}{\partial x}, derivamos a equação em relação a x, mantendo y fixo e lembrando que z depende de x. Assim:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\sin(x+y)\bigr] +\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\sin(y+z)\bigr] +\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\sin(x+z)\bigr] =0.
Calculando termo a termo:
\cos(x+y)\cdot1 +\cos(y+z)\,\frac{\partial z}{\partial x} +\cos(x+z)\bigl(1+\frac{\partial z}{\partial x}\bigr) =0.

Passo 3

Agrupando os termos com \frac{\partial z}{\partial x} e isolando:
\cos(x+y)+\cos(x+z) +(\cos(y+z)+\cos(x+z))\frac{\partial z}{\partial x} =0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{\cos(x+y)+\cos(x+z)}{\cos(y+z)+\cos(x+z)}.
No ponto P=(\pi,\pi,\pi) temos
\cos(\pi+\pi)=\cos(2\pi)=1 e \cos(y+z)=\cos(2\pi)=1, logo
\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{P} =-\frac{1+1}{1+1} =-\frac{2}{2} =-1.

Passo 4

Para \frac{\partial z}{\partial y}, derivamos a equação em relação a y, mantendo x fixo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\sin(x+y)\bigr] +\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\sin(y+z)\bigr] +\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\sin(x+z)\bigr] =0.
Isso dá
\cos(x+y)\cdot1 +\cos(y+z)\bigl(1+\frac{\partial z}{\partial y}\bigr) +\cos(x+z)\,\frac{\partial z}{\partial y} =0.
Agrupando:
\cos(x+y)+\cos(y+z) +(\cos(y+z)+\cos(x+z))\frac{\partial z}{\partial y} =0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{\cos(x+y)+\cos(y+z)}{\cos(y+z)+\cos(x+z)}.
No ponto P temos de novo todos os cossenos iguais a 1, então
\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{P} =-\frac{1+1}{1+1} =-1.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}(P)=-1, \quad \frac{\partial z}{\partial y}(P)=-1.

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