Encontre o vetor projeção ortogonal de vec{v} em vec{u} :
vec{v}=(3,1) e vec{u}=(3,-3).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{v}=(3,1) e \vec{u}=(3,-3) e pede o vetor projeção ortogonal de \vec{v} em \vec{u}.\n
Informações relevantes:
\vec{v}=(3,1).
\vec{u}=(3,-3).
O que se pede: \operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v} (o vetor projeção de \vec{v} sobre \vec{u}).

Passo 2

Qual método usar? Vou usar a fórmula direta mais comum e prática para provas:
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\,\vec{u}.
Explicação rápida da fórmula (sem pular etapas): \vec{v}\cdot\vec{u} é o produto escalar entre \vec{v} e \vec{u}. \vec{u}\cdot\vec{u} é o quadrado da norma de \vec{u}, isto é \|\vec{u}\|^2. O quociente \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^2} dá o escalar que, multiplicado por \vec{u}, retorna o vetor de \vec{v} paralelo a \vec{u}. Usei esse método porque é direto e envolve só produtos escalares e multiplicação por escalar — fácil de fazer sem calculadora e rápido numa prova.

Passo 3

Definição do produto escalar em \mathbb{R}^2: para \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.
Vou aplicar isso para calcular \vec{v}\cdot\vec{u}:
\vec{v}\cdot\vec{u}=(3)\cdot(3)+(1)\cdot(-3)=9-3=6.

Passo 4

Agora calculo \vec{u}\cdot\vec{u}, que é \|\vec{u}\|^2:
\vec{u}\cdot\vec{u}=(3)\cdot(3)+(-3)\cdot(-3)=9+9=18.
Observação: \|\vec{u}\|=\sqrt{18}, mas só precisamos de \|\vec{u}\|^2=18 para a fórmula.

Passo 5

Calculo do coeficiente escalar:
\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.
Esse é o número pelo qual multiplicamos \vec{u}.

Passo 6

Multiplico o escalar por \vec{u} para obter a projeção:
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{1}{3}\,\vec{u}=\frac{1}{3}\,(3,-3).
Faço a multiplicação coordenada a coordenada:
\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\left(\frac{1}{3}\cdot 3,\;\frac{1}{3}\cdot(-3)\right)=(1,-1).

Passo 7

Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): outra forma é usar o versor \hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} e calcular (\vec{v}\cdot\hat{u})\hat{u}. Aqui daria o mesmo resultado; não preciso repetir contas porque já obtive (1,-1).

Passo 8

Interpretação final: \operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=(1,-1) é o vetor paralelo a \vec{u} que representa a componente de \vec{v} na direção de \vec{u}. Isso significa que, se eu decompor \vec{v} em uma parte paralela a \vec{u} e outra perpendicular, a parte paralela é exatamente (1,-1).

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=(1,-1)

Exercícios relacionados