Esboce os seguintes pontos do \mathbb{R}^{3} :
H(4,-3,-3)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar (plotar) no espaço \mathbb{R}^3 o ponto H(4,-3,-3).
Informações dadas: as coordenadas do ponto são \;x=4, \;y=-3, \;z=-3.

Passo 2

Como primeiro passo para desenhar, precisamos montar um sistema de eixos coordenados 3D no papel. Faça o seguinte esqueleto:
  • Desenhe um ponto que será a origem O.
  • A partir de O desenhe três semi-retas perpendiculares entre si:
    • eixo x apontando para a direita. Marque unidades 1,2,3,\dots ao longo dele.
    • eixo y apontando para cima-esquerda ou para dentro/para trás da página (é comum desenhar o y indo para cima-esquerda, com uma leve inclinação).
    • eixo z apontando para cima (vertical).
  • Use a convenção de sinais: para cada eixo, o sentido oposto ao desenhado é o sentido negativo. Assim, para y=-3 eu vou me mover no sentido negativo do eixo y; para z=-3 vou para baixo no sentido negativo de z.

Passo 3

Projete o ponto sobre o plano xy (isto facilita o esboço). A projeção de H no plano z=0 é
H_{xy}=(4,-3,0).
Como desenhar H_{xy}:
  • Partindo da origem O, mova 4 unidades no sentido positivo do eixo x (para a direita).
  • A partir daí, mova 3 unidades no sentido negativo do eixo y (para o lado oposto ao traçado positivo de y).
    Marque esse ponto; ele é a sombra do ponto H no plano xy.

Passo 4

Agora recupere a coordenada z. O ponto H está a -3 unidades em z, isto é, 3 unidades no sentido negativo do eixo z (para baixo). Para posicionar H:
  • A partir de H_{xy}, desça 3 unidades paralelamente ao eixo z (traçando uma linha perpendicular ao plano xy).
  • O extremo dessa linha é o ponto H. Faça um pequeno ponto e marque-o como H.

Passo 5

Dicas visuais para o esboço no papel (como um desenho típico que você fará na prova):
  • Desenhe H_{xy} com uma linha tracejada até o eixo x e até o eixo y para mostrar as projeções (4,0,0) e (0,-3,0).
  • Desenhe uma linha tracejada vertical (paralela ao z) do ponto H_{xy} até H para indicar a elevação/descida em z.
  • Rotule as coordenadas nas projeções para ficar claro: H_{xy}=(4,-3,0), H_{xz}=(4,0,-3), H_{yz}=(0,-3,-3).

Passo 6

Representação vetorial e distância (útil para conferir se o ponto está certo):
  • A posição de H em forma de vetor posição é
\vec{r}_H = \begin{pmatrix}4\\[4pt]-3\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • A distância do ponto H à origem é
\|\vec{r}_H\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9+9}=\sqrt{34}.
Verificar essa distância pode te dar confiança de que você colocou o ponto na “distância” correta do centro do sistema.]

Passo 7

Resumo prático para a prova (passos rápidos que você pode escrever e executar):
  1. Desenhe eixos x,y,z perpendiculares e marque a origem.
  2. Marque 4 unidades em x (direita).
  3. A partir daí marque -3 em y (no sentido negativo de y). Isso dá H_{xy}.
  4. Do H_{xy} desça 3 unidades em z (sentido negativo de z). Esse é H.
  5. Opcional: trace linhas tracejadas até os planos coordenados para clarificar a localização.

Resposta

H(4,-3,-3)

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